新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 导学案

第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．知识点一 函数的最大(小)值思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．梳理 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．知识点二 函数的最大(小)值的几何意义思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．答案 当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．梳理 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×)2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(×) 3．函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(√)4．如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(×)类型一 借助单调性求最值例1 已知函数f(x)＝(x>0)．(1)求证：f(x)在(0,1]上为增函数；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．考点 函数的最值及其几何意义题点 由函数单调性求最值(1)证明 设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1f(x2)．所以，函数f(x)＝在区间[2,6]上是减函数．因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是.类型二 求二次函数的最值例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．考点 函数的最值及其几何意义题点 二次函数最值解 (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)∵对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.②当≤10可化为a>－x2＋x.要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，又(－x2＋x)max＝，∴a>.∴实数a的取值范围是.引申探究 把本例中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈”，再求a的取值范围．解 f(x)＝－x2＋x在上为减函数，∴f(x)的值域为，要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，只需a≥，∴a的取值范围是.反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)