函数的最大(小)值与导数(II)

1．3.3函数的最大(小)值与导数 理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得①________和②________并且函数的最值必在③________或④________取得．2.求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤(1)求函数y＝f(x)⑤________；(2)将函数y＝f(x)的⑥________与⑦________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值： 自我校对：①最大值②最小值③极值点处④端点处⑤在[a，b]内的极值⑥各极值⑦端点处的函数值f(a)，f(b) 1.下列说法正确的是()A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 解析：最值与极值概念．故选D.答案：D 2．函数y＝|x－1|，下列结论正确的是()A．y有极小值0，且0也是最小值B．y有最小值0，但0不是极小值C．y有极小值0，但0不是最小值D．因为y在x＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值解析：最小值与极小值定义的应用．故选A.答案：A 答案：B 答案：2，－2 5．求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2在区间[－1,1]上的最值．解析：f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)，因为f′(x)在[－1,1]内恒大于0，所以f(x)在[－1,1]上是增函数，故当x＝－1时，f(x)取得最小值－12；当x＝1时，f(x)取得最大值2.即f(x)的最大值为2，最小值为－12. 1.函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断是f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值的充分而非必要条件．2．当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．3．当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个可疑点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间． 4．函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处，则必为极值．5．函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值； 图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值． [分析]求函数在闭区间[a，b]上的最值．应先求极值，再求区间端点值，然后比较极值与端点值，从而找出最大值和最小值． ∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π，f(x)有最大值f(2π)＝π.当x∈[0，a]时，f′(x)0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)最大值 所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当af(－1)．所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.[点拨]本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想． 练2已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－11[解析]由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.[答案]A [分析]在函数、不等式的交汇点处命题，将不等式恒成立问题，转化为利用导数求函数最值的问题． 即证明x>0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x>0恒成立．令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，则g′(x)＝ln(x＋1)－1.当x>e－1时g′(x)>0；当00恒成立．因此正整数k的最大值为3. [点拨]解决含参不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法．若f(x)>m恒成立⇔f(x)min>m，若f(x)1知，当x0，故f(x)在区间(－∞，2)是增函数．当21时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数． (2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．