函数的最大(小)值与导数1

1.3.3函数的最值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小。 观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？ 极大值点，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点：a，最小值点：d 最小值是f(b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间[a,b]上最大值是f(a),图1 最大值是f(x3),图2函数y=f(x)在区间[a,b]上最小值是f(x4). 一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 怎样求函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值和最小值？思考只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较即可。 例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的最大值，最小值。 x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗ 例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的最大值，最小值。解：由上节课的例1知，在[0,3]上，当x=2时，f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f(2)=-4.又由于f(0)=12,f(3)=3,因此，函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的最大值为12，最小值为-4。 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下 练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,2]上的最大值与最小值。因为f(-2)=57,f(1.5)=-28.75,f(2)=-23所以函数的最大值为57，最小值为-28.75解：=-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)令=0,解得x1=-2,x2=1.5 练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最值。解：=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)因为在[-1,1]内恒大于0,所以f(x)在[-1,1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2。 例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1,2]上单调递增∴在(-1,3)上>0, 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x≥0上单调递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0 练习3:当x>1时,证明不等式:证:设显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0. 显然,当x>1时,,故f(x)是[1,+∞)上的增函数.所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时, 例4、求证证明：设 在x=1附近由负到正令=0,解得x=1,当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x>0时，f(x)≥f(1)=0从而 小结:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下