新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 导学案

1．3.2 奇偶性[提出问题]已知函数(1)f(x)＝x2－1，(2)f(x)＝－，(3)f(x)＝2x的图象分别如图所示：问题1：各个图象有怎样的对称性？提示：题图(1)关于y轴对称；题图(2)(3)关于坐标原点对称．问题2：对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？提示：(1)f(－x)＝f(x)；(2)f(－x)＝－f(x)；(3)f(－x)＝－f(x)．[导入新知]偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数定义域关于原点对称图象特征[化解疑难]理解函数的奇偶性应关注四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．26 (3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.(4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．判断函数的奇偶性[例1] 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝[解] (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x0时，－x0，求实数m的取值范围．[解题流程]26 [活学活用]设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)0，2a2－2a＋3＝22＋>0，且f(2a2＋a＋1)2a2－2a＋3，即3a－2>0，解得a>，∴a的取值范围为.[随堂即时演练]26 1．函数f(x)＝的图象关于(  )A．x轴对称    B．原点对称C．y轴对称D．直线y＝x对称解析：选B 由题意知f(x)＝的定义域为[－，0)∪(0，]，∴定义域关于原点对称，又∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．2．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则(  )A．f(3)>f(－4)