1.3.2函数的奇偶性（1）从容说课函数的奇偶性实质就是函数图象的对称性，它是研究函数性质的主要方面.判断函数奇偶性有两种方法，一是根据定义来判断，二是根据一个函数的图象关于原点或y轴对称的特征来判断.如果我们已知一个函数的奇偶性，就可以推断它在整个定义域内的图象和性质.可见，在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系.因此，本节课没有一开始就给出定义，而是先让学生观察一组图形，从中寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识.为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立奇（偶）函数的概念，引导学生表述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力.最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解.学习函数的奇偶性目的是让学生掌握奇、偶函数的图象特征，会用定义判断函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些与现实生活有关的综合问题.三维目标一、知识与技能1.从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的慨念.2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想.3.培养学生从特殊到一般的概括能力.二、过程与方法师生共同探讨、研究.从代数的角度来严格推证.三、情感态度与价值观从生活中的对称想到数学中的对称，再通过严密的代数形式去表达、去推理.教学重点函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定.教学难点函数奇偶性概念的理解和证明.教具准备多媒体课件.教学过程一、创设情景，引入新课师：在现实生活中，许多事物给我们以“对称”的感觉，人的轮廓、天安门城楼、射箭用的弓……它们关于某条中轴线对称，道家的太极八卦图等给我们以“中心对称”的感觉.对称是一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映.让我们观察下列函数的图象，想想各函数之间有什么共同特征.（如下图）生：这三个函数的图象都关于y轴对称.
师：那么如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？这就是我们本节课要研究的函数的奇偶性.（板书课题：函数的奇偶性）二、讲解新课师：（演示课件）将f（x）=x2在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的.既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系.我们先计算几个特殊的函数值：f（－3），f（3），f（－2），f（2），f（－1），f（1），它们有何特点？生：f（－3）=f（3），f（－2）=f（2），f（－1）=f（1）.师：对，在函数f（x）=x2位于y轴右侧的图象上任取一点（x，f（x）），通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点（x′，f（x′））.我们由图象观察一下，这两个点的坐标有什么关系？生：x=－x′，f（x）=f（x′）.当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值相等.师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数作出刻画呢？生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.（当学生的表述不完整、不准确时，教师可作适当的提示和补充）（看课件）1.偶函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数.师：下面我们来分析一下这个定义，定义中“任意一个x∈D，都有f（－x）=f（x）成立”说明了什么？生：这说明f（－x）与f（x）都有意义，即－x、x必须同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的.师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的前提条件.那么定义的实质是什么呢？能用自己的语言来表述一下偶函数的定义吗？生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值相等.师：我们判断下面两个函数是否是偶函数？并说明理由.（1）f（x）=5x2+3，x∈［－3，2］；（2）f（x）=.生：函数f（x）=5x2+3，x∈［－3，2］不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称.函数f（x）=也不是偶函数，因为它的定义域｛x|x∈R，且x≠｝并不关于原点对称.师：对于f（x）=，我们很容易提取分子中的公因式x2，化简为f（x）=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论.通过这两个小题可以看出要判断函数是偶函数，必须先判断其定义域是否关于原点对称，不能光看解析式.接下来，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有什么共性.（学生活动：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义）（1）f（x）＝x；
（2）f（x）=.生：这两个函数的图象关于原点对称.师：那么关于原点对称的点的坐标之间有什么关系呢？生：关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.师：对，当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数.我们能不能用定义的形式对这类函数作出刻画呢？生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.师：定义中“任意一个x∈D，都有f（－x）=－f（x）成立”说明了什么？生：这说明f（－x）与f（x）都有意义，即－x、x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的.师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.那么这个定义的实质是什么呢？生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数.师：看课件，奇函数的定义及注意点.2.奇函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么f（x）就叫做奇函数.注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？生：有.函数f（x）=0，x∈R就是一个.师：那么这样的函数有多少个呢？生：只有函数f（x）=0，x∈R一个.师：再想一想，函数的三要素是什么呢？生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域.师：对，可见三要素不同的函数就是不同的函数.生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个.虽然解析式都为f（x）=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f（x）=0，x∈［－3，－1］∪［1，3］；f（x）=0，x∈［－5，－2］∪［2，5］等等.师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数.
2.例题讲解【例1】判定下列函数是否为偶函数或奇函数：（1）f（x）=x4；（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x+；（4）f（x）=.方法引导：（1）函数f（x）=x4的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有f（－x）=（－x）4=x4=f（x），所以函数f（x）=x4是偶函数.（2）函数f（x）＝x5的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有f（－x）＝（－x）5＝－x5＝－f（x），所以函数f（x）＝x5是奇函数.（3）函数f（x）＝x+的定义域是{x|x≠0}.因为对于任意的x∈R，都有f（－x）＝－x+＝－（x+）=－f（x），所以函数f（x）＝x+是奇函数.（4）函数f（x）=的定义域是{x|x≠0}.因为对于任意的x∈R，都有f（－x）＝＝=f（x），所以函数f（x）=是偶函数.【例2】（1）判断下列图象是否是偶函数的图象.（1）（2）方法引导：图（1）是偶函数的图象，因为它关于y轴对称.而图（2）当自变量取±2时，我们观察到f（2）与f（－2）并不相等，这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，即不能使函数定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），所以该图象不是偶函数的图象.（2）判断函数f（x）=的奇偶性.方法引导：函数的定义域关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，f（－x）=x2－x=－（x－x2）；当x＜0时，－x＞0，f（－x）=－x－x2=－（x2+x），
即f（－x）==－f（x）.∴此函数为奇函数.【例3】设F（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F（x）的解析式是2x2－x，求F（x）在R上的表达式.方法引导：任取x＜0，设P（x，y）是函数F（x）图象上的一个点.由于F（x）是奇函数，所以，其图象关于原点对称.因此P′（－x，－y）必然也是F（x）图象上的一个点.由于－x＞0，此时P′（－x，－y）必满足解析式y=2x2－x，即－y=2（－x）2－（－x）y=－2x2－x.上式就是点P（x，y）的坐标满足的关系式，即x＜0时F（x）的解析式.当x=0时，F（－0）=－F（0），即F（0）=0.所以奇函数F（x）=（今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，定义法是基本方法）三、课堂练习判定下列函数的奇偶性：（1）f（x）=（x－1）；（2）f（x）=+；（3）f（x）＝3|x|，x∈［－3，3）；（4）f（x）=（x－1）2.答案：（1）函数f（x）=（x－1）既不是奇函数也不是偶函数.（2）函数f（x）=+既是奇函数又是偶函数.（3）函数f（x）＝3|x|既不是奇函数也不是偶函数.（4）函数f（x）=（x－1）2的定义域是R.因为f（1）＝0，f（－1）＝4，所以f（1）≠f（－1），f（1）≠－f（－1）.因此，根据函数奇偶性定义，可以知道函数f（x）=（x－1）2既不是奇函数也不是偶函数.四、课堂小结函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数.而判断函数是奇函数、偶函数首先是看其定义域，若不关于原点对称即可断定函数是非奇非偶函数；再看f（－x）与f（x）的关系，注意它们之间是恒成立的关系，也可以通过图形来判断其奇偶性.五、布置作业课本P46习题1.3A组第9，10题；B组第1，2题.板书设计
1.3.2函数的奇偶性（1）偶函数的定义奇函数的定义注意：例1例2例3课堂练习
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