1.3.2函数的奇偶性（2）从容说课本课应使学生进一步了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握有关证明和判断的基本方法.通过抽象函数单调性的证明，提高学生在代数方面的推理论证能力，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增强学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度.三维目标一、知识与技能1.从形与数两个方面进行引导，使学生深刻理解函数的奇偶性、单调性的慨念.2.通过抽象函数奇偶性、单调性的应用，培养学生观察、归纳、抽象的能力.二、过程与方法师生共同探讨、研究，从代数的角度来严格推证并总结规律.三、情感态度与价值观用数学化、符号化的方式去思考问题.教学重点函数奇偶性与单调性的综合应用.教学难点抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用.教具准备多媒体课件.教学过程师：前面我们学习了函数的奇偶性和函数的单调性，对于函数的这两大性质我们都可以从两个方面来考虑：（1）从图象来看，（2）从代数式来分析.前者直观，后者严谨.今天我们来观察这两个方面是如何来解决问题的.一、基础训练题1.下列说法正确的是（把你认为正确的答案写出来）A.奇函数的图象一定过原点B.偶函数的图象一定与y轴相交C.y=－在其定义域内是增函数D.f（x）是奇函数的等价条件是它的图象关于原点对称方法引导：否定一个答案仅需举一个反例，选择肢A的反例是y=－（尽可能让学生举反例）.B的反例可以画一个图，也可以举反例f（x）=x2（x≠0）（尽可能地让学生举反例）.C的反例是x取－1与x取1比较.正确的答案应为D.答案：D2.（1）f（x）=ax，g（x）=－在（－∞，0）上都是减函数，则h（x）=ax2+bx在（0，+∞）上是________函数.（填“增”或“减”）（2）函数f（x）=2x2－mx+3，当x∈［－2，+∞）时，是增函数，当x∈（－∞，－2］时，是减函数，则f（1）＝________.
（3）已知f（x）=ax5+bx3+cx+5（a、b、c是常数），且f（5）=9，则f（－5）的值为________.（4）若函数f（x）=x2－2（a－1）x+2在（－∞，4］上是减函数，则a的取值范围是________.评析要点：从定义出发，借助图象思考.二次函数的对称性是重点研究的话题，其对称性主要是（1）看开口；（2）看对称轴.答案：（1）减（2）13（3）1（4）a≥53.给出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并指明其单调性.方法引导：通过图象直观观察其升降来判断其增减性，但必须注意区间端点的取舍要合理.解：图（1）中f（x）的单调区间有（－3，－1］、（－1，0）、［0，1）、［1，3）其中在（－3，－1］和［0，1）上是减函数，在（－1，0）和［1，3）上是增函数.图（2）中g（x）的单调区间有（－，）和（，），其中在（－，）和（，）上都是减函数.说明：图（1）中x=－3和x=3不在定义域内，因此写单调区间时在这两个点上必须写成“开”而其余端点写成“开”或“闭”均可.图（2）中虽在两个区间上均为减区间，但不能把两个区间并起来.二、典型例题【例1】定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞）上图象与f（x）的图象重合.设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A.①④B.②③C.①③D.②④解析：本题可采用三种解法.方法一：直接根据奇、偶函数的定义.由f（x）是奇函数得f（－a）=－f（a），f（－b）=－f（b），g（a）=f（a），g（b）=f（b），g（－a）=g（a），g（－b）=g（b）.∴以上四个不等式分别可简化为①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.又∵f（x）是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f（a）＞f（b）＞f（0）=0，从而以上不等式中①、③成立.故选C.方法二：结合函数图象.由下图，分析得f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a），f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）.
从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C.方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可验证正确的是①与③，故选C.答案：C评述：（1）本题不仅要考虑函数的奇偶性和单调性等性质，还要注意图象的对称性和不等式的应用.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.（2）当然由于本题是选择题，利用特殊值求解比较简单.【例2】设函数f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是奇函数，又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，并且f（x）＜0，指出F（x）＝在（－∞，0）上的增减性，并证明.方法引导：（1）函数单调性的证明思路怎样？（2）如何建立条件与所求之间的联系？（3）奇函数的单调性有哪些特点？通过分析得到如下思路：所设即所证，定向转移，应用已知区间的单调性结合函数的奇偶性得到结论.由于f（x）在（0，+∞）上是减函数，要判断F（x）在（－∞，0）上的单调性，可设x1＜x2＜0，且需将f（x1）与f（x2）的大小关系转化到f（－x1）与f（－x2）的大小关系，这里奇偶性这一性质起到了关键的促进作用.证明：设x1、x2∈（－∞，0），且x1＜x2，则－x1＞－x2＞0.∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴f（－x1）＜f（－x2）.①又∵f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是奇函数，∴f（－x1）＝－f（x1），f（－x2）＝－f（x2）.由①式得－f（x1）＜－f（x2）.∴f（x1）＞f（x2）.当x1＜x2＜0时，F（x2）－F（x1）＝－.∵F（x2）－F（x1）=，又∵f（x）在（0，＋∞）上总小于0，∴f（x1）＝－f（－x1）＞0，f（x2）＝－f（－x2）＞0.又f（x1）＞f（x2），∴F（x2）－F（x1）＞0且x1－x2＜0.故F（x）＝在（－∞，0）上是增函数.
【例3】定义在（－1，1）上的函数f（x）是奇函数，并且在（－1，1）上f（x）是减函数，求满足条件f（1－a）+f（1－a2）＜0的a的取值范围.方法引导：函数的奇偶性与单调性的综合问题需要熟练把握两个重要性质.解：∵f（x）的定义域是（－1，1），∴－1＜1－a＜1，①－1＜1－a2＜1.②又∵f（x）是奇函数，∴－f（1－a2）=f［－（1－a2）］=f（a2－1）.又∵f（1－a）＋f（1－a2）＜0，有f（1－a）＜－f（1－a2）=f（a2－1）.∵f（x）在（－1，1）上是减函数，∴1－a＞a2－1.③由①②③组成不等式组得0＜a＜1.∴所求a的范围为0＜a＜1.评述：研究有关函数问题时，不考虑函数的定义域是出现错误的主要原因.三、课堂练习1.对于定义域是R的任何奇函数f（x）都有A.f（x）－f（－x）＞0（x∈R）B.f（x）－f（－x）＜0（x∈R）C.f（x）·f（－x）≤0（x∈R）D.f（x）·f（－x）＞0（x∈R）2.奇函数f（x）（x∈R）的图象必经过点A.（a，f（－a））B.（－a，f（a））C.（－a，－f（a））D.（a，f（））3.f（x）是定义在R上的任意一个增函数，G（x）=f（x）－f（－x），则G（x）必定为A.增函数且为奇函数B.增函数且为偶函数C.减函数且为奇函数D.减函数且为偶函数4.求证：定义域为（－m，m）的任何函数都能表示成一个奇函数与一个偶函数的和.答案：1.C（点拨：由f（x）是奇函数，知f（－x）=－f（x），∴f（x）f（－x）=－f2（x）≤0）2.C（点拨：∵f（x）为奇函数，∴x=－a时，y=f（－a）=－f（a））3.A（点拨：分别由单调性、奇偶性定义判断）4.设f（x）=g（x）+h（x），①g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（－x）=g（－x）+h（－x），即f（－x）=－g（x）+h（x）.②由①②得g（x）=，h（x）=，∴f（x）=+，命题获证.四、课堂小结
函数的单调性和奇偶性是函数最基本、最重要的两大性质，对这部分知识的灵活运用，首先建立在透彻理解单调性、奇偶性的概念上，对于其本质意义（即反映函数随自变量的变化情况）要更深地理解.五、布置作业1.判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=+；（2）f（x）=|x+1|－|x－1|；（3）f（x）=0，x∈［－6，－2］∪［2，6］；（4）f（x）=.2.设f（x）在R上是奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1－x），试问当x＜0时，f（x）的表达式是什么?3.已知函数y=，试判断函数的奇偶性，并加以证明.4.设函数f（x）与g（x）的定义域是x∈R且x≠±1，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=，求f（x）和g（x）的解析式.5.若f（x）=（m＋1）x2＋2mx＋（m为常数）是奇函数，求m的值.*6.已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=－.（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在［－3，6］上的最大值与最小值.板书设计1.3.2函数的奇偶性（2）基础训练题例3典型例题课堂练习例1课堂小结例2
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