高中高一数学 1.3.2 奇偶性目标导学案 人教版必修

数学人教A必修1第一章1．3.2 奇偶性1．了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义．2．了解奇函数、偶函数图象的对称性．3．会用定义判断函数的奇偶性．1．偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有f(－x)＝______f(－x)＝______结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于______对称图象关于______对称(1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．(2)函数f(x)是偶函数对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0f(x)的图象关于y轴对称．(3)函数f(x)是奇函数⇔对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0f(x)的图象关于原点对称．【做一做1－1】函数y＝f(x)，x[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于(  )．              A．－1B．0C．1D．无法确定【做一做1－2】下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是(  )．A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f(x)C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)2．奇偶性定义如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有______图象特征图象关于原点或y轴对称基本初等函数的奇偶性如下：函数奇偶性正比例函数(y＝kx，k≠0)反比例函数奇函数一次函数(y＝kx＋b，k≠0)b＝0奇函数 b≠0非奇非偶函数二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)b＝0偶函数b≠0非奇非偶函数【做一做2－1】函数y＝x是(  )．A．奇函数B．偶函数C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【做一做2－2】函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__________.答案：1．任意 f(x) －f(x) y轴 原点【做一做1－1】C【做一做1－2】D2．奇偶性【做一做2－1】A【做一做2－2】0理解函数的奇偶性剖析：函数f(x)的奇偶性的定义是用f(－x)＝±f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的；函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同．从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的局部性质，而奇偶性是函数的整体性质．只有对函数f(x)的定义域的每一个值x，都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，才能说f(x)为偶函数或奇函数；定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x，都有f(－x)＝f(x)(f(－x)＝f(x))”成立，其前提为f(－x)和f(x)都有意义，所以－x也属于f(x)的定义域，即自变量x的取值要保持关于原点的对称性，于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集，这是函数存在奇偶性的前提．例如将函数f(x)＝x2＋1，f(x)＝x的定义域分别限定为(0，＋)与(－3,3]，那么它们都为非奇非偶函数；函数的奇偶性定义中的等式f(－x)＝－f(x)〔或f(－x)＝f(x)〕是其定义域上的恒等式，而不是对部分x成立．如：函数f(x)＝尽管当|x|≤1时，都有f(－x)＝f(x)，但当|x|＞1时，f(－x)≠f(x)，所以它不是偶函数．题型一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝.分析：先求出定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．反思：判断函数奇偶性的方法：(1)定义法： (2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图象关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．本题(1)容易错解为：由题意得f(x)＝＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)，则函数f(x)＝是奇函数．其错误原因是没有讨论该函数的定义域．避免出现此类错误的方法是在讨论函数的奇偶性时，要遵循定义域优先的原则．题型二利用函数奇偶性作图【例2】已知函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请在坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，并说明作图依据．分析：先证明f(x)是偶函数，再依据其图象关于y轴对称作图．反思：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．题型三利用函数的奇偶性求函数的解析式【例3】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．反思：(1)若f(x)是奇函数，f(0)有意义，则f(0)＝0；(2)已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．题型四易混易错题易错点 分段函数奇偶性的判断【例4】判断函数f(x)＝的奇偶性．答案：【例1】解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(3)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．【例2】解：∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为R.又对任意xR，都有f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数．则f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．【例3】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x＞0时，－x＜0，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝【例4】错解：∵当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)；当x≥0时，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴当x＜0时，函数f(x)是偶函数；当x≥0时，函数f(x)是奇函数．错因分析：“当x＜0时，函数是偶函数；当x≥0时，函数是奇函数”这种说法是错误的．函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断．正解：显然f(x)的定义域关于原点对称．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3，f(x)＝x2，于是f(－x)≠±f(x)，故函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数．1函数f(x)＝x4＋x2(  )．A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数2函数y＝(  )．A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数3若函数f(x)满足＝1，则f(x)图象的对称轴是(  )．A．x轴B．y轴C．直线y＝xD．不能确定 4已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝，试求f(x)的解析式．5定义在[－3，－1][1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象．(2)比较f(1)与f(3)的大小．答案：1．B 定义域是R，f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝x4＋x2＝f(x)，所以函数是偶函数．2．D 定义域是(－，－1)∪(－1，＋)，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数．3．B 由于f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．4．解：当x＜0时，－x＞0，此时f(x)＝f(－x)＝，∴f(x)＝即f(x)＝.5．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．