人教必修高中高一数学 1.3.2 奇偶性 学案 Word版含答案

第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学习目标①理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;②学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境众所周知,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有和谐美、自然美、对称美…)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.问题2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?表1 x-3-2-10123f(x)=x2表2x-3-2-10123f(x)=|x|三、信息交流,揭示规律问题3:请给出偶函数的定义.1.偶函数的定义问题4:偶函数的图象有什么特征?问题5:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗?问题6:偶函数的定义域有什么特征?问题7:观察函数f(x)=x和f(x)=的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质.2.奇函数的定义给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:(1) (2)(3)(4)(5)四、运用规律,解决问题【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+; (4)f(x)=.【例2】已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=.【例3】已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x,x都有12f(x·x)=f(x)+f(x),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.1212(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)试比较f(-)与f()的大小.五、变式演练,深化提高1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x4,x∈[-3,1];(2)f(x)=; (3)f(x)=+;(4)f(x)=.2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+,求f(x).3.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.六、反思小结,观点提炼本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质?七、作业精选,巩固提高课本P习题1.3A组第6题,B组第3题.39 参考答案问题2:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x,都有f(-x)=f(x).表1x-3-2-10123f(x)=x29410149表2x-3-2-10123f(x)=|x|3210123问题3:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.问题4:偶函数的图象关于y轴对称.问题5:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于y轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2,f(-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数.问题6:偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.问题7:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; (2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以函数f(x)=x4是偶函数.(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5是奇函数.(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),所以函数f(x)=x+是奇函数.(4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)===f(x),所以函数f(x)=是偶函数.点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数; 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.【例2】解析:当x∈(0,+∞)时,则-xx>0,则21f(x)-f(x)=f(x·)-f(x)=f(x)+f()-f(x)=f().211111∵x>x>0,∴>1.21∴f()>0,即f(x)-f(x)>0.21∴f(x)>f(x).21∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f(-)=f().由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f()>f().∴f(-)>f().点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较,其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.五、变式演练,深化提高1.解:(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=x2+x4,x∈[-3,1]既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},并不关于原点对称,所以函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0,∴x=±2,即f(x)=0,其定义域是{-2,2}.∵f(2)=0,f(-2)=0,∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2).∴f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).∴f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是R.∵f(-x)+f(x)=+== =0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.点评:本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数.(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数.(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.(5)判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.2.解:当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=0;当x0,由于函数f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+]=-x2+.综上所得,f(x)=3.解:(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).∴f(-1)=0.(2)是奇函数. ∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.