新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 课件

数 学必修①·人教A版 第一章集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.2 奇偶性 1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案 自主预习学案 大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？ 函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于f(x)定义域内的任意一个x结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于________对称关于________对称y轴原点 (3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()[解析]A、C、D中的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，B中的图象关于y轴对称，是偶函数．B 2．下列函数为偶函数的是()A．y＝x＋1B．y＝x2C．y＝x2＋xD．y＝x3[解析]y＝x＋1为非奇非偶函数；y＝x2＋x为非奇非偶函数；令f(x)＝x2，∴f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数；令g(x)＝x3，g(－x)＝(－x)3＝－x3＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．B B －2 互动探究学案 命题方向1⇨函数奇偶性的判断典例1 [思路分析](1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？ 『规律方法』判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中． (3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．当x>0时，－x0时的图象．典例2 [解析](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． 『规律方法』1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称． 命题方向3⇨利用函数的奇偶性求解析式已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．[思路分析](1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？(2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．典例3 『规律方法』利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式． 〔跟踪练习3〕已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.[解析]设x0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1. 忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误典例4 [错因分析]要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性． [警示]1.函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式． 逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D，当x10)，则必有()A．f(a)f(－a)D．f(a)＝f(a＋1)[解析]∵f(－x)＝a(－x)2＝ax2＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(a)＝f(－a)．B 3．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有()A．f(x)－f(－x)>0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0D．f(x)·f(－x)>0[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0，故选C．4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝_____.[解析]f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0.C0 5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小． [解析](1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．