新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 导学案

1．3.2 奇偶性第1课时 奇偶性的概念学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一 函数奇偶性的几何特征思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．梳理 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二 函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上．知识点三 奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称．2．重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(×)2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(√)3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√)4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)类型一 证明函数的奇偶性例1 (1)证明f(x)＝既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；(3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f(x)＝既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因为f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，故函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2)既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数．考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性证明 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．类型二 奇偶性的应用命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.考点 函数图象的对称性题点 中心对称问题解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解 (1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)f(3)＝0，∴x>3；②当xf(－3)＝0，∴－31.11．函数f(x)＝为________函数．(填“奇”或“偶”)考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断分段函数的奇偶性答案 奇解析 定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．三、解答题12．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝.考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x) 是非奇非偶函数．13．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题解 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0.四、探究与拓展14．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.考点 函数图象的对称性题点 中心对称问题答案 解析 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.15．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题解 (1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，解得m＝2.经检验当m＝2时函数f(x)是奇函数．所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．