新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 练习题

第一章 1.3 1.3.2 第一课时函数的奇偶性基础巩固一、选择题1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(  )A．f(x)－f(－x)＞0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0D．f(x)·f(－x)＞0[答案] C[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2.又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0，故选C.2．下列函数是偶函数的是(  )A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x[答案] A[解析] 对A项：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B、D项都为奇函数，C项中定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故选A.3．下列说法正确的是(  )A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[答案] B[解析] A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B.4．函数f(x)＝－x的图象关于(  )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称[答案] C[解析] ∵f(x)＝－x(x≠0)，∴f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－x的图象关于原点对称，故选C.5．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(  )A.B.C.D．1[答案] A[解析] 方法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴＝－，即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，整理得(2a－1)x＝0，∴必须有2a－1＝0，∴a＝，故选A.方法二：由于函数f(x)是奇函数，所以必有f(－1)＝－f(1)，即＝－，即1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A.6．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx(  )A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数又非偶函数[答案] A[解析] ∵f(－x)＝f(x)，∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．∴b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝－g(x)．二、填空题7．(2015·广东深圳期末)设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．[答案] 4 [解析] ∵f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.8．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．[答案] 0、0[解析] 由题意知f(0)＝0，故得m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.三、解答题9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.10．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.(1)求证：f(0)＝1.(2)判断函数的奇偶性．[解析] (1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，因f(0)≠0，则f(0)＝1.(2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)，∴f(x)是偶函数．能力提升一、选择题1．设f(x)是定义在R上的任意函数，则下列叙述正确的是(  )A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数[答案] D[解析] 由函数奇、偶性的定义知D项正确．2．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a的值为(  )A．－2B．－1 C．1D．2[答案] C[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴2(1－a)＝0，∴a＝1，故选C.3．(2015·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝(  )A．3B．5C．7D．－1[答案] C[解析] 令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，则g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.4．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(  )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数[答案] C[解析] 令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1，∴f(－x)＋1＝－f(x)－1，∴f(x)＋1为奇函数．二、填空题5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号)．[答案] ②④[解析] ∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴①为偶函数；∵f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，∴②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．[答案] 0[解析] ∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若 y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.三、解答题7．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．[分析] 利用奇函数的性质：若在原点有定义，则f(0)＝0，以及已知条件f()＝，求得a、b的值，从而确定解析式．[解析] (1)根据题意得即解得∴f(x)＝.(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x＞0,1＋x＞0,1－x1x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．[点拨] (1)函数的奇偶性、单调性是函数的两个重要性质，在解答问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意两者的联系．(2)函数的单调性、奇偶性常与其他性质结合在一起进行命题，此类考查形式是常考点，应引起足够的重视．8．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明仍然的结论．[解析] (1)令a＝b＝0，则f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0，∴f(0)＝0.令a＝b＝1，则f(1×1)＝f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)是奇函数．证明：∵f(1)＝f[(－1)2]＝－f(－1)－f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.令a＝－1，b＝x，则f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)． 故f(x)为奇函数．