高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算导学案 人教版必修

2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习·预习案【温馨寄语】废铁之所以能成为有用的钢材，是因为它经得起痛苦的磨练。愿你是永远奔腾的千里马。【学习目标】1．理解次方根的定义及性质.2．理解根式的概念、性质，并能利用根式的性质对根式进行化简与求值.3．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化.4．掌握有理数指数幂的运算性质.5．了解无理数指数幂的含义及运算性质.【学习重点】1．指数函数的概念和性质2．指数函数性质的应用【学习难点】1．用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质2．指数函数性质的应用【自主学习】1．次方根定义 表示    两个结论2．根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，其中①根指数为：        ；②被开方数为：       .(2)性质：①        (且)；②3．分数指数幂的概念分数指数幂                    4．无理数指数幂 (1)无理数指数幂，是无理数)是一个确定的             .(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.5．有理数指数幂的运算性质(1)                 (，，).(2)                 (，，).(3)                 (，，).【预习评价】1．9的平方根为A.±3       B.±9       C.3       D.92．是实数，则下列式子中可能没有意义的是A.      B.      C.     D.3．化为分数指数幂为A.       B.       C.       D.4．已知，则          .5．计算：                .6．计算：              . 知识拓展·探究案【合作探究】1．次方根的定义 定义中的取值范围是            .2．次方根的定义当为奇数时，在“且)”中，的实数值有几个？3．次方根的定义 当为偶数时，在“且，)”中，的实数值有几个？4．根式的性质求值与化简中常用到与，那么它们的含义是什么？5．根式的性质成立吗？呢？6．根式的性质成立的条件是什么？7．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)观察互化公式，指出根式的根指数与被开方数分别对应分数指数幂的什么位置？8．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)请你根据所学知识思考上述互化公式是否适用于或? 9．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？10．有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质是否适用于或?11．有理数指数幂的运算性质公式，，)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制?【教师点拨】1．对与的两点说明(1)已暗含有意义，根据是奇数还是偶数可知的取值范围.(2)中的可以是全体实数，的值取决于是奇数还是偶数.2．对次方根的两点说明(l)次方根的存在：任何实数都存在奇次方根；负数没有偶次方根，非负数才存在偶次方根.(2)次方根的个数：任何实数的奇次方根只有一个；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；零的次方根只有一个零.3．对有理数指数幂运算性质的两点说明 (1)用分数指数幂进行根式运算，顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算.(2)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.4．对分数指数幂与根式互化的两点说明(1)分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新写法.(2)根式与分数指数幂本质上是具有相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算.【交流展示】1．已知，则的四次方根可表示为             .2．-2013的五次方根是                  .3．若，则化简的结果是          .4．化简：.5．设，将表示成分数指数幂，其结果是          .6．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1).   (2).7．化简的结果是A.B.C.D.8．化简：                  . 【学习小结】1．求解次方根的注意事项(l)当为大于1的奇数时，对任意有意义，它表示在实数范围内唯一的一个次方根.(2)当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个次方根，另一个是.2．根式化简的依据及应遵循的三个原则(1)化简依据：①且)；②(2)遵循原则：①被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.②被开方数是带分数的要化成假分数.③被开方数中不能含有分母；使用化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.3．有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论. 4．根式与分数指数幂互化的关键与技巧(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用公式，，，).(2)技巧：当表达武中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简，提醒：对含有多个根式的化简，要注意每一步的等价性，特别要注意字母的取值范围.5．利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的.(2)无括号先做指数运算.(3)负指数幂化为正指数幂的倒数.(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.【当堂检测】1．设，,，则，，的大小关系是A.B.C.D.2．若，则是                 .3．计算下列各式：(1)             .(2)                .(3)                      .4．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1) .(2).(3).(4). 5．已知，求的值. 答案课前预习·预习案【自主学习】1．x (1) R(2) a≥0(1)负数 (2)0 2．（1）①n ②a (2)①a ②a |a|3．(2)① ②(3)①0 ②负4．(1)实数5．(1)ar+s (2)ars (3)arbr【预习评价】1．A2．C3．A4．5． 6．－1知识拓展·探究案【合作探究】1．定义中的n必须是大于1的正整数，即n＞1且n∈N*.答案 n＞1且n∈N*2．因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的奇次方不同，所以当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，故x的实数值只有一个.3．因为两个相反数的偶次方相等，所以当n为偶数时，正数的n次方根有两个，故x的实数值有两个.4．(1)表示实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，a∈R.(2)表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定.5．不一定成立，如，而成立.6．等式成立的条件是n为奇数，或n为偶数且a≥0.7．根式的根指数与被开方数指数分别对应分数指数幂的分母与分子.8．均不适用，原因如下：(1)若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即无研究的价值.(2)若a＜0，不一定成立.如＝意义，故为了避免上述情况规定了a＞0. 9．引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即(a＞0，m，n∈N*且n＞1).10．(1)若a＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a≠0.(2)若a＜0，(ar)s＝ars，也不一定成立，如，所以a＜0不成立.因此不适用于a＝0或a＜0的情况.11．成立，且不需要限制m＞n.证明如下：.【交流展示】1．2．3．1－2a4． ＝2+.5．6．(1).(2).7．C8．xz－2【当堂检测】1．D2．3．(1)－3 (2)π－3 (3)2.44．(1).(2).(3).(4)5．因为，所以