高一数学指数与指数幂的运算2

2.1.1指数与指数幂的运算（一）一、内容及其解析（一）内容：章导言，引出指数幂概念的推广，根式．（二）解析：本节课是关于根式的一节概念课，是高中新课改人教A版教材第二章的第一节课．第一章主要介绍了函数的概念，本章计划用14个课时重点介绍几类具体的基本初等函数，以此进一步理解函数概念，认识函数的思想．其中，指数函数计划用6课时，具体分配如下：根式（含章导言）1课时，分数指数幂1课时，无理指数幂1课时，指数函数及其性质3课时．1．章导言在本节课起到了一个承上启下的作用，特别对学习基本初等函数具有引导作用．2．本章首先要介绍的是指数函数，即f(x)=ax（a>0且a≠1），这里的ax是一个指数幂，其中x∈R．这就涉及到实数指数幂的概念，而在此之前同学只学过整数指数幂，所以需要在学习指数函数前将同学已有指数幂的概念进行推广，由整数指数幂推广到有理指数幂，再进一步推广到实数指数幂．由于先有根式才有有理指数幂（分数指数幂），根式就成了有理指数幂的基础，而方根又是根式概念的核心，所以本节课主要就是针对有理指数幂，从n次方根逐步认识根式，为进一步认识有理指数幂奠定基础．3．由于本模块、本章和本节都是围绕函数这一核心，从不同角度展开研究，所以无论是指数和指数幂的运算，还是根式，都是为函数教学服务的，都不是我们研究的重点．这样，本节课的重点就应该放在为后续内容的铺垫上，即将整数指数幂推广到有理指数幂和引入指数函数，而关键在于根式的概念，包括n次方根定义、表示和性质．二、目标及其解析（一）教学目标1．初步了解指数幂和指数函数；2．通过类比平方根、立方根，认识n次方根，进而初步理解根式的概念．（二）解析1．《课程标准》没有明确提出本节课的具体教学内容和要求，但根据它对本模块、本章和本节的内容要求，结合教科书当前和今后内容的实际，基于对相关内容的分析，提出了上述教学目标的内容并给出了相应的要求定位．2．初步了解指数幂和指数函数，主要是指结合具体事例，从它们的表示形式上对它们有所了解，并不给出它们的定义，更不涉及其运算或图象、性质．3．由于本节课的教学内容不仅涉及根式的定义，还涉及其表示和性质，后续内容还涉及其运算，所以对根式概念的定位应该是理解层次．而本小节教科书之后将不再专门介绍根式，所以本节课务求初步理解根式概念，而在下节课的根式运算中逐步达到真正的理解．4．在与平方根、立方根比较的过程中，可以进一步学习类比的思想方法，提高同学的思维水平．并在推广与化归的过程中，形成根式的知识链． 三、问题诊断分析同学在理解根式概念的过程中可能会遇到困难，具体表现在对n次方根定义的理解，特别是n次方根的存在性，以及性质的认识．因为从平方根和立方根到n次方根，是一个特殊到一般的变化过程，要求同学具有一定的归纳概括能力和抽象能力．要克服这一困难，关键是引导同学建立n次方根与平方根和立方根的联系，通过类比平方根和立方根，让同学在已有的认知基础上，从具体例子出发，不断地观察、比较、模仿、判断，从而形成概念，同时将新知识同化到已有的认知结构中，从而克服可能遇到的困难．四、教学过程设计（一）教学基本流程概念的引入概念的形成概念的明确概念的表示本章学习引导概念的巩固和应用（二）教学情景1．本章学习引导问题1：老师想和在座的每一位同学签署一份合同，合同的具体要求是：从今天开始的一个月内（即31天），老师每天给你10万元钱，而你第一天只需给老师1分钱，以后每天给老师的钱是前一天的两倍．你是否愿意签署这份合同？请思考一分钟，然后作出决定．设计意图：通过创设一个有趣的情景，将同学的注意力引向本章的学习之中．并借此揭示指数函数的形式和爆炸性增长的特点．师生活动：对愿意和不愿意签署合同的同学，都要求其说明原因，即：（1）同学每天得到的钱（万元）：10，10，…，10；一个月得到的总和（万元）：=310．（2）老师每天得到的钱（万元）：10-6，2×10-6，22×10-6，…，2n-1×10-6，…，230×10-6；一个月得到的总和（万元）：10-6+2×10-6+22×10-6+…+2n-1×10-6+…+230×10-6=2147.483647．注：上式的计算可借助计算工具，若嫌求和复杂，可只求最后一个数进行体会，230×10-6=1073.741824．若同学们余兴未尽，还可以进一步地问：从哪一天起，同学的支出超过收入？引导学生用计算器探究，并为第三章函数零点的学习奠定基础．问题2：阅读章导言，看章头图并思考章头问题，然后回答：本章我们将要学习哪些内容？教科书为什么这样安排？你准备怎样学？设计意图：引导同学对本章内容有一个概括性的认识，并大致清楚学习的目标和方法．师生活动：从同学的回答来把握其认识的程度，并从中进行引导： （1）当同学泛泛地回答本章将学习基本初等函数时，可进一步追问：哪些基本初等函数，每类函数又会学哪些内容？以此来引导同学认真阅读教科书的章导言，并结合前一章的内容进行思考．（2）对教科书“为什么这样安排”的问题，可结合章头图和章头问题，引导同学形成特殊到一般再到特殊的认识问题和解决问题的方法，具体讲就是从一次函数、二次函数、反比例函数等特殊函数到一般函数，再由一般函数到几类基本初等函数这些特殊函数．并从中领会本章的学习目标．（3）在学法指导上，可引导同学借助第一章函数有关内容的学习方法．（4）为了进一步了解有关概念，可让同学举出类似前面情景问题和章头问题的例子，也可给出本节教科书开始的两个例子．将问题所涉及到的指数幂概括为an的形式．问题3：继续阅读教材P48页的两个例子，然后回答：（1）正整数指数幂的含义是什么？它具有哪些运算性质？（2）两个例子中的数均可以用同一种形式来表示，请将这种形式写出来。问题4：对于an，当n是正整数时的意义我们已经知道；当n是正分数时，它的意义又是什么呢？设计意图：引导同学建立与根式的联系．师生活动：可进一步作出下列引导，帮助同学建立与根式的联系：以an的一个简单情形为例，如果整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，那么就有．根据平方根的意义，就是2的一个正的平方根，而2的正的平方根是，可见=．由此启发我们，可以通过已经有所认识的根式来认识指数幂an．2．概念的引入问题5：我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x叫做a的立方根（3次方根）．请问：（1）你由此想到，还有哪些方根？（2）你能否根据上述定义，给你所说的这些方根进行定义？设计意图：通过回顾平方根和立方根，让同学在已有认知基础上，与同类概念进行比较，通过类比得到对新概念的认识方法上的启发，并为领会新概念找到一个固着点，从而引出n次方根的定义．以此促进概括，明确n次方根概念的内涵，进而准确把握此概念．师生活动：为了帮助同学进行类比，可以将平方根和立方根的定义上下对齐写在黑板上，然后让同学将类比出的定义写在它们的下面． 3．概念的形成问题6：根据平方根和立方根的定义，我们可以举例，例如，由于（±2）2=4，所以±2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根．类似地，请根据你所给出的其他方根的定义，举出相应的例子．设计意图：当n较大或就是n时，同学举例困难了，于是引入n次方根的表示．师生活动：可引导同学类比平方根和立方根的表示，给出n次方根的表示：（1）我们知道，4的平方根是±2，可以表示为±=±2；8的立方根是2，可以表示为=2；-8的立方根是-2，可以表示为=-2．那么类似地，16的4次方根怎样表示？32的5次方根怎样表示？-32的5次方根怎样表示？a的n次方根又怎样表示？（2）从上述例子中我们是否能看出什么规律？也就是：n是奇数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？负数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？n是偶数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？（3）负数有没有偶次方根？（4）0的n次方根是多少？可以怎样表示？4．概念的明确问题7：请把前面学习的内容归纳一下，什么叫n次方根？如何表示？设计意图：让同学明确n次方根的概念．师生活动：为了让同学进一步明确根据n次方根的概念，解决下列问题：（1）当n为奇数时，()n=；当n为偶数时，()n=．举例说明．（2）当n为奇数时，=；当n为偶数时，=．举例说明．5．概念的表示前面用来表示a的n次方根的式子，我们把它叫做根式，读作n次根号下a（其中一般读作根号a），其中n叫做根指数，a叫做被开方数．当根指数为n时，又把叫做n次根式．问题8：请写出一个根式，并读出来，然后指出它的根指数和被开方数．设计意图：在明确了根式的概念之后，让同学通过举例和表示，并利用概念对具体例子进行判断，推动他们对概念的理解活动，从而进一步形成对根式概念抽象的认识． 师生活动：为了让同学对概念有丰富的例证，在他们举例的基础上，可继续提出下列问题：读出下列根式，并指出每个根式的根指数和被开方数：（1）；（2）；（3）；（4）．6．概念的巩固和应用例1：求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．设计意图：通过应用概念解决问题，推进同学对概念本质的理解．师生活动：为了进一步推动同学对概念理解的深化，可提出下列变式题组：题（1）变式题组：；；；；．题（2）变式题组：；（a>b）；．题（3）变式题组：；；；．7．小结我们今天主要学习了与根式有关的哪些内容？