2022年高一数学 人教A版必修1 2.1.1指数与指数幂的运算 教案新人教a版必修1

2.1.1指数与指数幂的运算教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法：学导式教学过程：第一课时引例：填空n*0n1*（1）aaa（nN)；a=1（a)0；aa(,0nN)nan个amnmnmnmnnnn(2)aaa(m,n∈Z)；(a)a(m,n∈Z)；(ab)ab(n∈Z)（3）9_____；-9_____；0______22（4）()a_____(a)0；a________（II）讲授新课1.引入：mnmn（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为aa可看作aa,mnmnmnmnanmn所以aaa可以归入性质aaa；又因为()可看作aa，所以bnanannn()可以归入性质(ab)ab(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性nbb*质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（nN）的概念。（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：222=4，（-2）=42，-2叫4的平方根332=82叫8的立方根；（-2）=-8-2叫-8的立方根5n2=322叫32的5次方根⋯2=a2叫a的n次方根235分析：若2=4，则2叫4的平方根；若2=8，2叫做8的立方根；若2=32，则2叫做32的n5次方根，类似地，若2=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）n一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根（nthroot）,其中n1，且nN。n问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？xa是否正确？分析过程：6例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）精品学习资料可选择pdf第1页，共8页----------------------- 35解：因为3=27，所以3是27的3次方根；因为()2=-32，所以-2是-32的5次方根；因为2362是a6的3次方根。a()a，所以a结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的nn次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为xa。35362从而有：273，322，aa例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。44解：因为216，()216，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反n数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：a(a)0nn其中a表示a的正的n次方根，a表示a的负的n次方根。例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。n解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。nn结论3：0的n次方根是0，记作0,0即a当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3.n次方根的性质：（板书）na,n2k1nx(kN*)其中a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。na,n2k注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。4.根式运算性质：（板书）nn①（a）a，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求3355442()2，2，3，()3由所得结果，可有：（板书）a,n为奇数；nn②a|a|,n为偶数性质的推导如下：精品学习资料可选择pdf第2页，共8页----------------------- 性质①推导过程：nnnn当n为奇数时，xa,由xa得(a)annnn当n为偶数时，xa,由xa得(a)ann综上所述，可知：(a)a性质②推导过程：nn当n为奇数时，由n次方根定义得：aann当n为偶数时，由n次方根定义得：aannnn则|a||a|an,a为奇数nn综上所述：()a|a|，n为偶数注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。（III）例题讲解例1．求下列各式的值：332442（1）（－8）（2）（－10）（3）（3－）（4）a()b（a>b）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值542(1)32(2)()3(3)(2)3(4)526（IV）课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。（V）课后作业1、书面作业：a.求下列各式的值362x12（1）－27)2(a（3）（－4）)4(()3xb.书P69习题2.1A组题第1题。2、预习作业：a.预习内容：课本P59—P62。b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？精品学习资料可选择pdf第3页，共8页----------------------- 第二课时1.填空3544（1）64______,32_______；（2）81______,81______；4455510312（3）()3______,()6______；(4)a_____,a_______；（5）525___,7()37_____6644（）；（6）()4____,5______.（II）讲授新课25105102分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：a()a,aa；5105252也可根据n次方根的性质来解：aa()a。51024123问题1：观察aa,aa，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？10125105241234aaa,aaa，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形232式？如：aa3是否可行？223分析：假设幂的运算性质mnmn3332a()a对于分数指数幂也适用，那么a()aa，这2323222说明a也是a的3次方根，而a也是a的3次方根（由于这里n=3，a的3次方根唯一），223232于是33aa。这说明aa可行。由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：mnnmaa(a,0m,nN*,且n1)n注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？1102分析：正例：3351052332()88,2()2()2()2(,4)2()2等等；123366212反例：()88(,2)8()8,2而实际上；又如：361241234124124343（8）（8）4（8），（8）8（8）8。这样就产生了混乱，因此113“a>0”这个限制不可少。至于()8382，这是正确的，但此时()83不能理解精品学习资料可选择pdf第4页，共8页----------------------- 12为分数指数幂，不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而36102555332101022()2()2(,)2()2，那是因为()22(,)22，负号内部消化了。问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。2.负分数指数幂：m1n且a(a,0m,nN*,n)1mna3.0的分数指数幂：（板书）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）rsrsaaa(a0,,rsQ)；rsrs(a)a(a0,,rsQ)rrr(ab)aba(0,b0,rQ)(4)根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用mmnnnnma()aa来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。p（5）同样可规定a(pp,0是无理数）的意义：p①a表示一个确定的实数；②上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略；③指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。（III）例题讲解（投影2）213－1－16－例2．求值：3，2，（）3，（）48100481分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。2221113－－2（－）183＝（23）3＝23＝22＝4；1002＝（102）2＝102＝10－1＝；10解：331－－－（－）（－）16－24（－）2－27（）3＝（22）3＝223＝26＝64；（）4＝（）4＝（）3＝。481338例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：2332aaa,a,aa(式中a0)分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。精品学习资料可选择pdf第5页，共8页----------------------- 解：115222222aaaaaa;221133323333aaaaaa;1131322224aa(aa)(a)a.（IV）课堂练习课本P63练习：1、2、3、4（V）课时小结通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。（V）课后作业1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4.2、预习作业（1）预习内容：课本P61例题5。（2）预习提纲：a.根式的运算如何进行？b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？教学后记第三课时教学目标1.掌握根式与分数指数幂的互化；2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；3.培养学生的数学应用意识。教学重点：有理指数幂运算性质运用。教学难点：化简、求值的技巧教学方法：启发引导式教学过程（I）复习回顾1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念有理指数幂运算性质mnnmrsrs(0,,)aaaaaarsQ；mnm1naa＝rsrsnm(a)a(a0,,rsQ)a精品学习资料可选择pdf第6页，共8页----------------------- rrr(a0,,mnN*,且n1)(ab)aba(0,b0,rQ)2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）521x3a(a)46xx（II）讲授新课例1．计算下列各式（式中字母都是正数）211115131()(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6);2()(m4n8)8.分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：①结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；③根式需化成最简根式。21111513488322366(2)(mn)1()(2ab)(6ab)(3ab)211115134883解：[2()6(3)]a326b236(m)(n)024ab4;a33mmn3n例2．计算下列各式：2a34)1(a(0);2()(25125)532aa分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。解：231221234324aa2(2)(25125)5(55)523(1)a133221312131aa22aa53545254534524555656aa;124125455555.例3．求值：36(1)526743642;(2)231.512分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；精品学习资料可选择pdf第7页，共8页----------------------- 解：(1)526743642222222(3)232(2)2223(3)2222(2)222((32))(23)(22)|32||23||22|3223(22)22注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。1113623326(2)231.51223＝（）（32）2111111－＋＋＋＝3323623＝236＝要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。（III）课堂练习计算下列各式：132141－3（1）16－（）－（）162402（2）[53()]15要求：学生板演练习，做完后老师讲评。（IV）课时小结通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。（V）课后作业第二教材有关题目精品学习资料可选择pdf第8页，共8页-----------------------