指数与指数幂的运算 第3课时

第3课时指数与指数幂的运算(三)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道=1.41421356…,那么1.41,1.414,1.4142,1.41421,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,是的什么近似值？②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?的过剩近似值55的近似值1.511.1.429.1.4159.1.41439.1.414229.1.9.1.9.1.9.1.9.5的近似值的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.4142 9.7384619071.4142139.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,这些数都大于,称的过剩近似值.②第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5的方向逼近5.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.40);(2)()(a>0,b>0);(3).活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)()=aabb=a0b0=.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3)= =-+2--2+=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=(5-5)2=(5-2·50+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.这时应看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=［(5-5)+］n=［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1);(2)125+()-2+343-(); (3)(-2xy)(3xy)；(4)(x-y)÷(x-y).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.解：(1)=()+()+(0.0625)+1-=()2×+()+(0.5)+=++0.5+=5;(2)125+()-2+343-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2×(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)==-6xy=;(4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y)=(x+y)(x-y)÷(x-y)=x+y.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式:(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］. 活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.解：(1)原式====;(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］====a+a-1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P59习题2.1A组3.利用投影仪投射下列补充练习:1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是()A.(1-2)-1B.(1-2)-1C.1-2D.(1-2)分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),依次类推,所以==(1-2)-1.答案：A2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.5×2-4. 解：原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100.3.计算(a≥1).解：原式=(a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=(a-a),则(x+)n的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.这样先算出1+x2,再算出,将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n=［(a-a)+(a+a)］n=a.答案：a拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.的过剩近似值的过剩近似值的不足近似值的不足近似值1.83.1.73.1.743.1.733.1.7333.1.7313.1.73213.1.73193.1.732063.1.732043.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3. 我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数,的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.即21.7