指数幂及运算

第2课时指数幂及运算 一、分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：=____(a>0,m,n∈N*,且n>1)负分数指数幂规定：=____=____(a>0,m,n∈N*,且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂_________0没有意义 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.()(3)0的任何指数幂都等于0.() 提示：(1)正确.引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能化成分数指数幂的形式,即(2)错误.分数指数幂不可以理解为个a相乘.事实上，它是根式的一种新写法.(3)错误.因为0的负指数幂无意义，所以此说法是错误的.答案：(1)√(2)×(3)× 二、有理数指数幂的运算性质(1)aras=____(a＞0,r,s∈Q).(2)(ar)s=___(a＞0,r,s∈Q).(3)(ab)r=____(a＞0,b＞0,r∈Q).ar+sarsarbr 思考：在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a＞0?提示：(1)若a=0，∵0的负数指数幂无意义,∴(ab)r=ar·br，当r＜0时不成立，∴a≠0.(2)若a＜0，(ar)s=ars也不一定成立,如∴a＜0时不成立.因此规定a＞0. 三、无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0,α是无理数)是一个确定的_____,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂_________.思考：为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a=-1,则(-1)α是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.实数同样适用 【知识点拨】1.“三角度”理解分数指数幂(1)角度一：与根式的关系.分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.(2)角度二：底数的取值范围.由分数指数幂的定义知a≤0，可能会有意义.当有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算. (3)角度三：运算性质.分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘. 2.关于指数运算性质的四点说明(1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广.(2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础.(3)运算性质可以逆用.如amn=(am)n=(an)m(a>0).(4)要会用文字语言来叙述运算性质. 3.对无理数指数幂的理解(1)无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数.(2)无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算性质.对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：①aras=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 类型一根式与分数指数幂的互化【典型例题】1.下列互化中正确的是()A.(x>0)B.(yx-2，x2-x-2>0，故x2-x-2=2.由x+y=12及xy=9x得x(12-x)=9x，所以或当时，当时， 【拓展提升】条件等式求值的原则和方法技巧(1)原则：①对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值.②也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值.(2)方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及“整体代换”的技巧、换元思想. 【变式训练】已知=0，求yx的值.【解题指南】解决本题的关键是根据已知条件，求出x,y的值.【解析】由=0得，|x-1|+|y+3|=0，所以x=1，y=-3，yx=(-3)1=-3. 根式与分数指数幂的应用【典型例题】1.从小到大的排列顺序为______.2．在中最大的数是______. 【解析】1.∵1210，即a-1>0.2.准确应用公式和性质对于公式和性质要记住且要记准.如本例根式与分数指数幂的互化公式，以及分数指数幂的运算性质. 1．若a>0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是()A.am÷an=B.am·an=am+nC.(am)n=am+nD.1-an=a0-n【解析】选B.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以am·an=am+n正确. 2.可化为()A.B.C.D.【解析】选A.当根式化分数指数幂时，注意分子与分母， 3.若10x=3,10y=4,则10x-y=______.【解析】答案： 4.的值是______.【解析】答案： 5.求值：(1)(2) 【解析】(1)(2)