2.1．1 指数与指数幂的运算1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且nN*．性质[来源:www.shulihua.net]及表示n是奇数[来源:www.shulihua.net]正数的n次方根是一个正数[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]a的n次方根用符号表示[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]负数的n次方根是一个负数n是偶数正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±(a＞0)．负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作＝0．谈重点对“n次方根”的理解 “n次方根”的定义及性质是平方根、立方根定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，可以通过类比进行理解．【例1】已知m10＝2，则m等于( )A．B．C．D．解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝．答案：D2．根式定义式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．性质()n＝a当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝点技巧根式的记忆口诀正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零．【例2－1】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)＝5．(2)＝－2．(3)＝＝2．(4)＝π－3．【例2－2】化简：(1)；(2)(x＜π，nN*)．解：(1)
错解＝(1＋)＋(1－)＝2．错解原因因为，而1－＜0，所以≠1－．正解＝(1＋)＋＝1＋＋－1＝．(2)∵x＜π，∴x－π＜0，当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，＝x－π．辨误区的错误应用 (1)表示an的n次方根，对任意aR都有意义，但等式＝a不一定成立．当n的值不确定时，应注意分n为奇数和偶数两种情况对n进行讨论．(2)与()n的区别：①当n为奇数，且aR时，有＝()n＝a；②当n为偶数，且a≥0时，有＝()n＝a．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义正数的正分数指数幂(a＞0，m，nN*，且n＞1)正数的负分数指数幂(a＞0，m，nN*，且n＞1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义谈重点对分数指数幂的理解 (1)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；(2)指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(3)通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在像中的a，则需要a≤0．【例3－1】用根式的形式表示下列各式(a＞0)：，，，．解：，，，．谈重点分数指数幂与根式互化的易错点 (1)分不清分子、分母的位置，如写成；(2)负分数指数幂化简时不注意负号的位置，如或者．(2)有理数指数幂的运算性质
符号表示文字叙述aras＝ar＋s(a＞0，r，sQ)同底数幂相乘，底数不变，指数相加(ar)s＝ars(a＞0，r，sQ)幂的幂，底数不变，指数相乘(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，rQ)积的幂等于幂的积点技巧巧记有理数指数幂的运算性质 有理数指数幂在运算中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．【例3－2】求值：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)．(2)＝33＝27．(3)．(4)＝．【例3－3】用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：(1)·；(2)；(3)；(4)．分析：解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简．解：(1)原式＝．(2)原式＝．(3)原式＝．(4)原式＝．根式化为分数指数幂的方法 将根式化为分数指数幂的依据是(a＞0，m，nN*，且n＞1)．当要变化的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质进行合并．4．无理数指数幂(1)一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数；(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂，即：①aα·aβ＝aα＋β(a＞0，α，β是无理数)；②(aα)β＝aα·β(a＞0，α，β是无理数)；③(ab)α＝aαbα(a＞0，b＞0，α是无理数)．
【例4】求值：(1)；(2)．解：(1)原式＝＝＝23＝8．(2)原式＝＝52＋21＝27．5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝＝，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义，这说明化简中出现了错误．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a，如果不将根式化为指数幂，就很难完成化简：a＝a·＝＝．(4)计算或化简的结果尽量最简，对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．综上所述：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．【例5－1】计算下列各式：(1)＋2－2×－(0.01)0.5；(2)＋(0.1)－2＋－3π0＋；(3)－＋＋16－0.75＋．解：(1)原式＝1＋．(2)原式＝＝100．(3)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝．【例5－2】化简：(1)(a＞0，b＞0)；(2)(ab≠0)；
(3)(a·b≠0，且a≠8b)．解：(1)原式＝．(2)原式＝＝a＋b．(3)原式＝＝a．6．条件求值问题利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：(1)将条件用结论表示，直接解出结论；(2)有些时候，直接代入求值不方便，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，常用整体代入法来求值．要求同学们熟练掌握平方差、立方和(差)以及完全平方公式，如a＋b＝，a－b＝等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解．(3)有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁．所以在解题时要先审题，比较各种思路的优劣，然后再动手做题，养成良好的思维习惯．例如：已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值．解：(方法一)8x＋8－x＝23x＋2－3x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3]＝a(a2－3)＝a3－3a．(方法二)令2x＝t，则2－x＝t－1，所以t＋t－1＝a，两边平方整理得t2＋t－2＝a2－2，则8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)＝a3－3a．【例6】(1)已知，，求的值；(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值．解：(1)，将，代入，得原式＝＝．(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的根，
∴由根与系数关系得又∵a＞b＞0，∴．∵，∴．析规律条件求值问题的处理方法 对于条件求值问题，常采用“整体代换”或“求值后代换”的方法求解．要注意运用恰当的变形，如分解因式等．用乘法公式时，还要注意开方时正负号的选取，如本题第(2)小题．7．二次根式与完全平方公式的综合问题由于乘方和开方互为逆运算，则完全平方公式(m±n)2＝m2±2mn＋n2与二次根式的关系也是互逆运算．在化简时，可设解得x，y，则＝＝＝|x±y|．因此，只要把a±k凑成完全平方公式的形式，利用＝|c|即可完成化简．【例7】化简＝__________．解析：原式＝＝＝＝．答案：点技巧a±k的处理有技巧 将a±k化为a±2·的形式，然后观察求出满足()2＋()2＝a的c，d的值，则a±k＝(±)2．例如本题中的5＋2＝5＋2·，则5＋2＝(＋)2．
微信/支付宝扫码支付