§2.1指数函数§2.1.1指数与指数幂的运算第二章：基本初等函数
初中知识回顾：1.什么样的数有平方根？一个数的平方根有几个？2.什么样的数有立方根？一个数立方根有几个？非负数有平方根。负数没有平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数。0的平方根为0。任何数都有立方根，并且只有一个立方根。平方根也叫2次方根。立方根也叫3次方根。代表偶次方根！也具备这些特点。代表奇次方根！也具备这些特点。
☞整数指数幂有那些运算性质?(m,n∈Z)初中知识回顾：
平方根：回忆：平方根，立方根是怎么定义的？立方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。即:如果x2=a，则x为a的平方根。如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。即:如果x3=a，则x为a的立方根.即:如果xn=a，则x为a的n次方根（n＞1，n∈N＊）。1.n次方根的定义：一.根式如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根。
概念理解【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(1)25的平方根是_______;(2)27的三次方根是_____;(3)-32的五次方根是____;(4)16的四次方根是_____;(5)a6的三次方根是_____;(6)0的七次方根是______.点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n次方等于a.±53-2±20a2
做一做,你会吗?(1)求27的3次方根；(2)求-32的5次方根；(3)求a6的3次方根；解:∵33=27,∴3是27的3次方根∵(-2)5=-32,∴-2是-32的5次方根∵(a2)3=a6,∴a2是a6的3次方根一般地:正数的奇次方根仍然是一个正数,记作:负数的奇次方根仍然是一个负数,记作:2.n次方根的性质：
(1)求16的4次方根；(2)求-81的4次方根。解:(1)∵24=16,∴2是16的4次方根又∵(-2)4=16,∴-2也是16的4次方根(2)∵任何实数的4次方都是非负数,不会为-81,∴-81没有4次方根.一般地:正数的偶次方根有两个,且它们互为相反数:正的偶次方根为,负的偶次方根为;负数没有偶次方根∴16的4次方根有两个，分别是2和-2继续做一下2.n次方根的性质：
想一想:当a=0时,有意义吗?因为05=0;04=0;0100=0。0的n次方根为0，即：无论n是奇数还是偶数,都有0n=02.n次方根的性质：
n次方根的性质总结①②③偶次方根的性质正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，记为0的偶次方根为0负数没有偶次方根奇次方根的性质正数的奇次方根为正数，记为负数的奇次方根为负数，记为0的奇次方根为0
式子叫做根式,其中a为被开方数,n为根指数。根据n次方根定义,有:-220334.根式的运算性质:当n为奇数时:当n为偶数时:3.根式的定义:想一想是否成立？3思考：我们看以下几个题目：
根指数根式根式的概念被开方数
公式1.公式2.适用范围:n为大于1的奇数,a∈R.公式3.适用范围:n为大于1的偶数,a∈R.n次方根的3个重要公式根据n次方根的定义，为a的n次方根.
例1:求下列各式的值.解:
①④【1】下列各式中,不正确的序号是().练一练
解:练一练【2】求下列各式的值.
问:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式。思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?解:二.分数指数幂
注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.规定:正数的负分数指数幂:规定:0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。幂的运算性质(2)(am)n=amn对于分数指数幂也适用,则1.正数的分数指数幂的定义:
用分数指数幂表示下列根式，：练习根指数为分母！
你能用方根的意义解释下列等式吗？43的5次方根是75的3次方根是a2的3次方根是a9的7次方根是结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.练习
1.用根式表示下列各式:(a＞0)2.用分数指数幂表示下列各式：练习
整数指数幂的运算性质：指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.2.有理指数幂的运算性质:有理数指数幂的运算性质：同底数幂相乘,底数不变指数相加幂的乘方，底数不变,指数相乘积的乘方，等于乘方的积
例求下列各式的值.最后结果：负指数要化为分数！
巩固练习求下列各式的值：解:
用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)：解:练习
的不足近似值的近似值1.49.5182696941.419.6726699731.4149.7351710391.41429.7383051741.414219.7384619071.4142139.7385089281.41421359.7385187651.414213569.7385177051.4142135629.738517736……的近似值的过剩近似值11.180339891.59.8296353281.429.7508518081.4159.739872621.41439.7386186431.414229.7385246021.4142149.7385183321.41421369.7385178621.414213579.7385177521.414213563……三.无理指数幂
结论：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
指数幂的推广过程正整数指数幂整数指数幂正分数指数幂负分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂实数指数幂
课堂小结一、n次方根的定义二、n次方根的性质①②③偶次方根的性质正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，记为0的偶次方根为0负数没有偶次方根奇次方根的性质正数的奇次方根为正数，记为负数的奇次方根为负数，记为0的奇次方根为0
三、根式的运算性质四、有理数指数幂运算性质:同底数幂相乘,底数不变指数相加幂的乘方底数不变,指数相乘积的乘方等于乘方的积课堂小结
当有多重根式时,要由里向外层层转化.对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂.要熟悉运算性质.【题型1】将根式转化分数指数幂的形式.例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0).解:特别注意：根式的运算都是通过转化为分数指数幂来实现的！
利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0).练一练特别注意：根式的运算都是通过转化为分数指数幂来实现的！
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指数相加,除的指数相减.【题型2】分数指数幂的运算解：原式=例化简下列各式：最后结果是负指数时，要化为分数！
练一练化简下列各式：最后结果是负指数时，要化为分数！
例求下列各式的值：题型3、根式运算利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指数幂，出现小数先化为分数；再根据分数指数幂的运算性质进行运算.最后结果出现负指数时要化为分数；最后结果出现分数指数时要化为根式。特别注意：根式的运算都是通过转化为分数指数幂来实现的！
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).练一练解:特别注意：根式的运算都是通过转化为分数指数幂来实现的！
例2.计算下列各式(式中字母都是正数).题型4、分数指数幂的求值.解：原式原式
例求下列各式中x的范围:x≤1x≠1x∈Rx>0(-3,1)x≠±1【题型5】分数指数幂或根式中x的取值范围问题分数指数幂的取值范围问题：需先把分数指数化为根式，负指数化为分数；然后根据根式有意义的条件求解！
例化简：放鞭法！
几个需要记住的根式开方运算：计算下列各式：解题方法：凑！我们来计算？
计算：解：令∵∴∴解得a=2或a=6，代入①得：由①得：b=8-a，代入②得：a(8-a)=12，a2-8a+12=0，根式开方的方法：∴注意：令并不是所有的根式都能开方！
求值：解：练习
乘法公式平方差公式：完全平方和公式：完全平方差公式：立方和公式：立方差公式：
练习1.化简
练习1.化简解：原式=
练习1.化简：原式=
练习1.化简原式=
练习解：(1)x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7；2.已知x+x-1=3，求下列各式的值：（1）x2+x-2；（2）。．（2）
练习．
2.根式的性质1.根式定义课堂小结正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.(1)奇次方根有以下性质：(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.
4.若xn=a,x怎样用a表示？3.三个公式课堂小结
5.分数指数概念(a＞0,m,n∈N*,n＞1)6.有理指数幂运算性质(3)0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂没有意义。(a＞0,m,n∈N*,n＞1)课堂小结
计算：解：练习
则有所以x的取值范围是练习
1.填空:(1)在这四个式子中,没有意义的是.(2)若则a的取值范围是。(3)已知a,b,c为三角形的三边,则达标练习
【1】下列说法中正确的序号是____________.(1)16的四次方根是2;(2)正数的n次方根有两个;(5)(6)(7)(8)【2】计算达标练习(3)a的n次方根就是
解：解之，得∴【3】如果 化简代数式达标练习
4.探究当时,实数a和正整数n(n>1)所应满足的条件达标练习
微信/支付宝扫码支付