高一数学导学案：2.1.1指数与指数幂的运算（1）（人教a版必修1）

§2.1.1指数与指数幂的运算（1）学习目标1.了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2.了解根式的概念及表示方法；3.理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材P48~P50，找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的，记作；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的，记作.二、新课导学※学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？问题：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x年后GDP为2000年的多少倍？探究任务二：根式的概念及运算考察：，那么就叫4的；，那么3就叫27的；，那么就叫做的.依此类推，若,，那么叫做的.新知：一般地，若,那么叫做的次方根，其中,.简记：.例如：，则.反思：当n为奇数时,n次方根情况如何？例如：，,记：.当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如：的4次方根就是，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即.试试：，则的4次方根为；，则的3次方根为.新知：像的式子就叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.试试：计算、、.反思：-15- 从特殊到一般，、的意义及结果？结论：（1），当是偶数时要求（2）当是奇数时，；当是偶数时，.※典型例题例1求下类各式的值：（1）（2）（3）（4）（）.变式：计算或化简下列各式.（1）=（2）=※动手试试练1.化简.练2.化简.三、总结提升※学习小结1.n次方根，根式的概念；2.根式运算性质.※知识拓展1.整数指数幂满足不等性质：若，则.2.正整数指数幂满足不等性质：①若，则；②若，则.其中N*.学习评价※当堂检测1.的值是（）.A.3B.－3C.3D.812.625的4次方根是（）.A.5B.－5C.±5D.253.化简是（）.A.B.C.D.4.化简=.5.计算：=；.课后作业-15- 1.计算：（1）；（2）.2.计算和，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3.对比与，你能把后者归入前者吗？-15- §2.1.1指数与指数幂的运算（2）学习目标1.理解分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化；3.掌握有理数指数幂的运算.学习过程一、课前准备（预习教材P50~P53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若，则叫做的，其中,.简记为：.像的式子就叫做，具有如下运算性质：=；=；复习2：整数指数幂的运算性质.（1）；（2）；（3）.二、新课导学※学习探究探究任务：分数指数幂引例：a>0时，，则类似可得；，类似可得.新知：规定分数指数幂如下；.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：=；=；=.（2）求值：；；；.反思：①0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂.②分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（）·；；．-15- ※典型例题例1求值：；；；.例2用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）；（2）；（3）.例3计算（式中字母均正）：（1）；（2）.小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.例4计算：（1）；（2）；（3）.小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.※动手试试练1.把化成分数指数幂.-15- 练2.计算：（1）；（2）.三、总结提升※学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.※知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：，其中t表示经过的时间，表示初始质量，衰减后的质量为m，为正的常数.学习评价※当堂检测1.若，且为整数，则下列各式中正确的是（）.A.B.C.D.2.化简的结果是（）.A.5B.15C.25D.1253.计算的结果是（）.A．B．Ｃ．D．4.化简=.5.若，则=.课后作业1.化简下列各式：（1）；（2）.2.计算：.-15- §2.1.1指数与指数幂的运算（练习）学习目标1.掌握n次方根的求解；2.会用分数指数幂表示根式；3.掌握根式与分数指数幂的运算.学习过程一、课前准备（复习教材P48~P53，找出疑惑之处）复习1：什么叫做根式?运算性质？像的式子就叫做，具有性质：=；=；=.复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？①；.其中②；；.复习3：填空.①n为时，.②求下列各式的值：=；=；=；=；=；=；=.二、新课导学※典型例题例1已知=3，求下列各式的值：（1）； （2）； （3）．补充：立方和差公式.小结：①平方法；②乘法公式；③根式的基本性质（a≥0）等.注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如，.-15- 变式：已知，求：（1）；（2）.小结：①方法：摘要→审题；探究→结论；②解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.※动手试试练1.化简：.练2.已知x+x-1=3，求下列各式的值.（1）；（2）.练3.已知，试求的值.-15- 三、总结提升※学习小结1.根式与分数指数幂的运算；2.乘法公式的运用.※知识拓展1.立方和差公式：；.2.完全立方公式：；.学习评价※当堂检测1.的值为（）.A.B.C.3D.7292.(a>0)的值是（）.A.1B.aC.D.3.下列各式中成立的是（）.A．B．C．D．4.化简=.5.化简=.课后作业1.已知,求的值.2.探究：时,实数和整数所应满足的条件.-15- §2.1.2指数函数及其性质（1）学习目标1.了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2.理解指数函数的概念和意义；3.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P54~P57，找出疑惑之处）复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？（1）；（2）；（3）；.其中复习2：有理指数幂的运算性质.（1）；（2）；（3）.二、新课导学※学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.反思：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：，讨论：（1）函数与的图象有什么关系？如何由的图象画出的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质.变底数为3或后呢？-15- 新知：根据图象归纳指数函数的性质.a>10100,b≠1)的图象关于y轴对称，则有（）.-15- A.a>bB.a1)在R上递减C.若a>a，则a>1D.若>1，则4.比较下列各组数的大小：；.5.在同一坐标系下，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如右图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是.课后作业1.已知函数f(x)=a－(a∈R)，求证：对任何，f(x)为增函数.2.求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.-15-