指数与指数幂运算（第二课时）

指数与指数幂运算(第二课时)2012-2013第一学期一、教学目标：1.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质；2.掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想，通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学有服务于生活的哲理；3.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。二、教学重点、难点：1.教学重点：分数指数幂概念的理解；掌握并运用分数指数幂进行化简、求值；2.教学难点：分数指数幂概念的理解。三、教学过程：1.导入新课：问题1：同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的。这就是本节课我们所要学习的内容——指数与指数幂的运算。2.探求新知：(1)问题1：整数指数幂的运算性质是什么？(2)问题2：观察以下式子，并总结出规律：①==a2=a;②==a4=a;③==a3=a;④==a5=a.根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1).=5,=7,=a,=x.(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？ 结论：如果a>0,那么am的n次方根可表示为：m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).1.能力提升提出问题：①负整数指数幂的意义是怎样规定的?a-n=(a≠0),n∈N*.②你能得出负分数指数幂的意义吗?正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1).③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?若没有a＞0这个条件会怎样呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),（2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.1.发散思维：例1：求值:①8;②25③()-5;④().解：①8=(23)=2=22=4;②25=(52)=5=5-1=;③()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;④()=()=()-3=.例2：用分数指数幂的形式表示下列各式.a3·;a2·;(a>0).解：a3·=a3·a=a=a;a2·=a2·a=a=a;=(a·a)=(a)=a.例3：计算下列各式（式中字母都是正数）:（1）(2ab)(-6ab)÷(-3ab);（2）(mn)8.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.例4：计算下列各式:（1）()÷;（2）(a＞0）.解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5=5-5=5-5=-5;（2）==a=a=.2.课堂小结：本节课同学们有哪些收获?3.作业：P54练习：2 一、板书设计：正分数指数幂：例1：m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).例2：负分数指数幂：a==(a>0,m,n∈N*,n>1)例3：运算性质：（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),例4：（2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).五、教学反思：知识点比较凌乱，例题多且计算繁杂，先将知识点分块，再在每一块上附上例题、练习，最后可再来个综合应用或训练，这样课堂效果可能会更加清晰。从作业反馈效果来看，学生对每个知识点的掌握效果较好，基本达到了教学的效果。