2016新人教a版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算学案

2．1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2.2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，＝4.[预习导引]1.n次方根(1)n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)n次方根的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可合并写成±(a＞0)．③0的任何次方根都是0，记作＝0.④负数没有偶次方根.2．根式(1)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)式子对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝3．分数指数幂 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a＞0，m，n∈N*,且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．4．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．要点一 根式的运算例1 求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)－，x∈(－3,3)．解 (1)＝－2.(2)＝＝.(3)＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练1 化简下列各式．(1)；(2)；(3).解 (1)＝－2.(2)＝|－10|＝10. (3)＝|a－b|＝要点二 根式与分数指数幂的互化例2 将下列根式化成分数指数幂形式．(1)·； (2)；(3)·； (4)()2·.解 (1)·＝·＝.(2)原式＝··＝.(3)原式＝·＝.(4)原式＝()2··＝.规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：＝和＝＝，其中字母a要使式子有意义．跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：(1)·(a＜0)；(2)(a，b＞0)；(3)(b＜0)；(4)(x≠0)．解 (1)原式＝·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)．(2)原式＝＝＝(·)＝(a，b＞0)．(3)原式＝＝(－b)(b＜0)．(4)原式＝＝＝(x≠0)． 要点三 分数指数幂的运算例3 (1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；(2)化简：÷(a＞0)．解 (1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.(2)原式＝[·]÷[·]＝＝a0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．跟踪演练3 计算或化简：(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；(2)·.解 (1)原式＝(－1)＋－＋1＝－＋(500)－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝(·)·[(a－5)·(a)13]＝(a0)·(·)＝(a－4)＝a－2. 1．下列各式正确的是(  )A．()3＝aB．()4＝－7C．()5＝|a|D.＝a答案 A解析 ()4＝7，()5＝a，＝|a|.2.＋的值是(  )A．0B．2(a－b)C．0或2(a－b)D．a－b答案 C解析 当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.3．计算[(－)2]的结果是(  )A.B．－C.D．－答案 A解析 [(－)2]＝[()2]＝.4．在－1,2，，2－1中，最大的数是(  )A.－1B．2C.D．2－1答案 C解析 －1＝－2,2＝＝，＝，2－1＝，所以最大．5．2＋＋－·8＝________.答案 2－3 解析 原式＝＋＋＋1－22＝2－3.1.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标1．化简的结果是(  )A．aB.C．a2D.答案 B解析 ＝(a·)＝()＝＝.2．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(  )A．x∈RB．x∈R且x≠C．x＞D．x＜答案 D解析 ∵(1－2x)＝，∴1－2x＞0，得x＜.3．若a