2018年秋人教版高中高一数学 2.1.1 指数与指数幂的运算 学案
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2018年秋人教版高中高一数学 2.1.1 指数与指数幂的运算 学案

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时间:2022-08-09

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资料简介
第2课时 指数幂及运算学习目标:1.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.(重点)[自主预习·探新知]1.分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定:a=(a>0,m,n∈N*,且n>1)负分数指数幂规定:a==(a>0,m,n∈N*,且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.思考:(1)分数指数幂a能否理解为个a相乘?(2)在分数指数幂与根式的互化公式a=中,为什么必须规定a>0?[提示] (1)不能.a不可以理解为个a相乘,事实上,它是根式的一种新写法.(2)①若a=0,0的正分数指数幂恒等于0,即=a=0,无研究价值.②若a0.2.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).3.无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.[基础自测]1.思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.(  )(2)5=.(  )(3)分数指数幂与根式可以相互转化,如=a.(  )[答案] (1)× (2)× (3)×2.4等于(  )A.25        B.C.D. B [4==,故选B.]3.已知a>0,则a等于(  )【导学号:37102215】A.B.C.D.-B [a==.]4.(m)4+(-1)0=________.m2+1 [(m)4+(-1)0=m2+1.]根式与分数指数幂的互化[合作探究·攻重难] 将下列根式化成分数指数幂的形式:(1)(a>0);(2);(3)(b>0).【导学号:37102216】[规律方法] 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.[跟踪训练]1.将下列根式与分数指数幂进行互化.(1)a3·;(2)(a>0,b>0).利用分数指数幂的运算性质化简求解[规律方法] 指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.提醒:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.[跟踪训练] 2.(1)计算:0.064-0+[(-2)3]+16-0.75+|-0.01|;(2)化简:÷(a>0).指数幂运算中的条件求值[探究问题]1.2和2存在怎样的等量关系?提示:2=2+4.2.已知+的值,如何求a+的值?反之呢?提示:设+=m,则两边平方得a+=m2-2;反之若设a+=n,则n=m2-2,∴m=.即+=. 已知a+a-=4,求下列各式的值:(1)a+a-1;(2)a2+a-2.[解] (1)将a+a-=4两边平方,得a+a-1+2=16,故a+a-1=14.(2)将a+a-1=14两边平方,得a2+a-2+2=196,故a2+a-2=194.母题探究:1.在本例条件不变的条件下,求a-a-1的值.[解] 令a-a-1=t,则两边平方得a2+a-2=t2+2,∴t2+2=194,即t2=192,∴t=±8,即a-a-1=±8.2.在本例条件不变的条件下,求a2-a-2的值. [解] 由上题可知,a2-a-2=(a-a-1)(a+a-1)=±8×14=±112.[规律方法] 解决条件求值的思路1.在利用条件等式求值时,往往先将所求式子进行有目的的变形,或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系,以便用整体代入法求值.2.在利用整体代入的方法求值时,要注意完全平方公式的应用.[当堂达标·固双基]1.下列运算结果中,正确的是(  )A.a2a3=a5    B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=1D.(-a2)3=a6A [a2a3=a2+3=a5;(-a2)3=-a6≠(-a3)2=a6;(-1)0=1,若成立,需要满足a≠1,故选A.]2.把根式a化成分数指数幂是(  )A.(-a)B.-(-a)C.-aD.aD [由题意可知a≥0,故排除A、B、C选项,选D.]4.若10m=2,10n=3,则103m-n=________. [∵10m=2,∴103m=23=8,又10n=3,所以103m-n==.]

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