第2课时指数与指数幕的运算(2)导入新课思路2•同学们，我们在初屮学习了整数指数幕及其运算性质，那么整数指数幕是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幕的运算之分数指数幕.推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幕的运算性质是什么？⑴整数指数幕的运算性质：an=aaa-...-a,ao=l(a^O);O°无意义；1/mnm+n/m、nmn/mn/ixnnina=——(a#));a-a=a;(a)=a;(a)=a;(ab)=ab•an(2)观察以下式子，并总结出规律：a>0,|0①冊=治7=是石；8②4^=7(^4)2=a4=a2;③勺a'?=#(/)“=a3=a4;io④冷a'。=/a5)?=a5=a2.⑵①朋是/的5次方根；②『是£的2次方根；③疋是产的4次方根；④J是』的2次|081210方根.实质上①V^?=aT,(2)7a?=a\③阿=再，④何结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了巴上,卩,凹，形式上变了，本质没变.5242根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幕形式).⑶利用⑵的规律你能表示下列式子吗？,吋x"(x>0,m,n丘N：且n>l).357m(3)利用⑵的规律,VF=5\V^=7\V^=a5,VF=x7.(4)你能用方根的意义來解释(3)的式子吗？357加mm(4)5彳的四次方根是54,75的三次方根是73,a7的五次方根是a5,xm的n次方根是x”.结果表明方根的结果和分数指数慕是相通的.(5)你能推广到一般的情形吗？(5)如果a>0,那么a"的n次方根可表示为”^A~=a"，即an=!\[a^(a>0,m,n^N,n>l).综上所述，我们得到正数的正分数指数幕的意义，教师板书：规定:正数的正分数指数幕的意义是a"=y[a^(a>0,m,n^N*,n>l).
活动：学生回顾初中学习的整数指数幕及运算性质，仔细观察，特别是侮题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比⑵的规律表示，借鉴⑵⑶，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及吋表扬，英他学生鼓励提示.提出问题①负整数指数帚的意义是怎样规定的？①负整数指数幕的意义是:an=-^(a^O),neN.an②你能得出负分数指数幕的意义吗？②既然负整数指数幕的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幕的意义可得正数的负分数指数幕的意义.II规定:正数的负分数指数幕的意义是a“=—=^(a>O,m,neN\n>l).③你认为应怎样规定零的分数指数幕的意义？③规定:零的分数指数幕的意义是:零的止分数次帚等于零，零的负分数指数幕没有意义.④综合上述，如何规定分数指数幕的意义？正数的正分数指数幕的意义是=(a>O,m,neN,n>l),正数的负分数指数幕的意义是man=^L(a>O,m,neN*,n>l),零的正分数次幕等于零,零的负分数指数幕没有意义⑤分数指数幕的意义中，为什么规定a〉0,去掉这个规定会产生什么样的后果？①若没有a>0这个条件会怎样呢？2如(・1)亍=口=・1,(・1)~乂(・1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幕在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数吋，切记要使底数大于2零，如无a>0的条件，比如式子孙7"=|a|亍.②既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数强的运算性质是否也适用于有理数指数幕呢？⑥规定了分数指数幕的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幕的运算性质:対任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：(1)ar-as=a^s(a>O,r,sGQ),(2)(ar)s=ars(a>O,r,seQ),(3)(ab)r=arbr(a>O,b>O,reQ).我们利用分数指数幕的意义和有理数指数幕的运算性质可以解决一些问题，来看下血的例题.应用示例思路1---11A--例1求值:①8彳；②252③(_)-〉@(一)4281活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幕的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题
目要求，把底数写成幕的形式,8写成23,25写成52,|写成2」,罟写成(討,利用有理数幕的运算性质可以解答，完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.223是解：①8亍=(2?)亍=2X?=22=4;②25_i=(52)_i=5③(-)-5=(24)-5=2^(-5)=32;④谱)-(f)-2門汇23=22338点评:本例主要考查幕值运算,要按规定来解.在进行幕值运算时，要首先考虑转化为指数运算,2而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8i=V8?=V64=4.例2用分数指数幕的形式表示下列各式.活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幕,再由幕的运算性质來运算,根式化为分数指数幕时,要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结.丄3+12解：a3-y[a=a3-a2=a^=a2;22+38a2-V^"=a2a^=a=a亍；114I2Ja\[a=(aa3)2=(a3)2=a3.点评：利用分数指数幕的意义和有理数指数幕的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幕，再由幕的运算性质來运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式來表示,没有特别要求，就用分数指数幕的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式(式中字母都是正数)：2I115(1)(2aib2)(-6a2biH-3a^^);丄_3(2)(m5n_i)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除,最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幕的运算性质及运算规律扩充到分数指数幕后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流,其屮要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算，再按幕的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.
解:(1)原式=[2x(-6H-3)Ja326b236=4ab°=4a;——o—o—o—Xo—Xom(2)(m4n8)8=(m4)8(n8)8=m4n8=m"n'3=—点评：分数指数幕不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幕，就可把根式转化成分数指数幕的形式，用分数指数幕的运算法则进行运算了.本例主要是指数幕的运算法则的综合考查和应用.变式训练求值：(1)3V3•y/3•y/i;解：(1)3-73-V3-V3=3-32-33-36=3236=32=9；例4计算下列各式：(1)(V25-V125hV25;(2)(a>0).活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底.利用分数指数泵计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幕再计算,这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幕后再由运算法则计算，最后写出解答.解：(1)原式=(253-1252)-254=(53-52)-5=532-5=56-5=^5-5;课本P54练习1、2、3.课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：⑴分数指数幕的意义就是:正数的正分数指数幕的意义是a-=V^m(a>O,in,neN,n>l),正数--11的负分数指数幕的意义是a-=—=-=(a>O,m,neN*,n>1),零的正分数次幕等于零，零的—nlm负分数指数幕没有意义.(2)规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
(2)有理数指数幕的运算性质:对任意的有理数r>s,均有下而的运算性质：®aras=ars(a>O,r,s^Q),②(ar)s=ars(a>O,r,SeQ),③(ab)r=arbr(a>O,b>O,reQ).(3)说明两点:①分数指数幕的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系.②整数指数幕的运算性质对任意的有理数指数幕也同样适用.因而分数指数幕与根式可以互mm—z?x—化，也可以利用(an)w=aw=am来计算.作业课本P59习题2.1A组2、4.
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