2.1.2指数函数及其性质（2个课时）一.教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用.难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法.②教具：多媒体..第一课时一．教学设想：1.情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的y1.073x(xx20)与问题(2)11中时间t和C-14含量P的对应关系P=[()530]t，请问这两个函数有什么共同特2征.②这两个函数有什么共同特征t1把P=[(1)5730]变成P[(1)5730]t，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，22自变量为指数，即都可以用yax（a＞0且a≠1来表示）.
二．讲授新课指数函数的定义一般地，函数yax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）y2x2（2）（4）yx（5）（7）yxx（8）y(2)x（3）y2xyx2（6）y4x2y(a1)x（a＞1，且a2）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.当x时,x等于0若a0,0ax时,x无意义当0a若a＜0，如y(2)x先时,对于=11等等,在实数范围内的函数值不,x,x68存在.若a=1,y1x1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足yax(a0,且a1)的形式才能称为指数函数，x,y=21为常数,象y=2-3xx,y3x5,y3x等等,不符合a,yx1yax(a0且a1)的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.下面我们通过先来研究a＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数y2x的图象x3.002.502.001.501.000.000.501.001.502.00y2x111124842yy=2x--
再研究，0＜a＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数y(1)x的图象.2x2.502.001.501.000.001.001.502.002.50y(1)x111242421xyyy2--------0-----x----------0x----
从图中我们看出y2x与y(1)x的图象有什么关系?2通过图象看出y2x与y(1)x的图象关于y轴对称,实质是y2x上的2点(-x,y)与y=(1)x上点(-x,y)关于y轴对称.2讨论：y2x与y(1)x的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对2吗？②利用电脑软件画出y5x,y3x,y(1)x,y(1)x的函数图象.xyx3515y3x58yx1y3642-50510-2-4-6-8问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看yax（a＞1）与yax（0＜a＜1）两函数图象的特征.8yax(0a1)6yax(a1)42-10-50510-2-4-6-8问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）
x，即可求得值、奇偶性.问题3：指数函数yax（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）a0=1自左向右，自左向右，增函数减函数图象逐渐上升图象逐渐下降在第一象限内的图在第一象限内的图x＞0，ax＞1x＞0，ax＜1象纵坐标都大于1象纵坐标都小于1在第二象限内的图在第二象限内的图x＜0，ax＜1x＜0，ax＞1象纵坐标都小于1象纵坐标都大于15．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：x（1）在[a,b]上,f(x)=a（a＞0且a≠1）值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];（2）若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR;（3）对于指数函数f(x)ax（a＞0且a≠1），总有f(1)a;（4）当a＞1时，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)；例题：例1：（P66例6）已知指数函数f(x)ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求f(0),f(1),f(3)的值.分析：要求3分别代入1f(0),f(1),f(3)的值,只需求出a,得出f(x)=(3)x,再把0，1，f(0),f(1),f(3).提问：要求出指数函数，需要几个条件？课堂练习：P68练习：第1，2，3题补充练习：1、函数f(x)(1)x的定义域和值域分别是多少?2
2、当x[1,1]时,函数f(x)3x2的值域是多少?解（1）xR,y0（2）（－5，１）3例2：求下列函数的定义域：4（2）y(2)|x|（1）y2x43分析：类为yax(a1,a0)的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得.3．归纳小结作业：P习题2.1A组第5、6题691、理解指数函数yax(a0),注意a1与0a1两种情况。2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想.第2课时教学过程：1、复习指数函数的图象和性质2、例题例1：（P例7）比较下列各题中的个值的大小66（1）1.72.53与1.7(2)0.80.1与0.80.2(3)10.33.1.7与0.9解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出y1.7x的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标就为3的点864y1.7x2-10-55100-2-4-6-8
在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.51.73.解法2：用计算器直接计算：1.72.53.771.734.91所以，1.72.51.73解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数y1.7x在R上是增函数，且2.5＜3，所以，1.72.51.73仿照以上方法可以解决第（2）小题.注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合.由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较0.33.11.7与0.9的大小.思考：1、已知a0.80.7,b0.80.9,c1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.112.比较a3与a2的大小（a＞0且a≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用.例2（P例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年67平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿经过1年人口约为13（1+1%）亿经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年人口约为2313(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)亿经过x年人口约为13(1+1%)x亿经过20年人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y13(11%)x当x=20时，y13(11%)2016(亿)答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间x后总量yN(1p)x,像yN(1p)x等形如ykax(KR，a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.
思考：P68探究：（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数.（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数.（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待计划生育政策？3．课堂练习（1）右图是指数函数①yax②ybx③ycx④ydx的图象，判yxyxb8cY=64ydxyxa2-10-5510-2-4-6断a,b,c,d与1的大小关系；（2）设y1a3x1,y2a2x,其中a＞0，a≠1，确定x为何值时，有：①y1y2②y1＞y2（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的3，写出存留污垢y与漂洗次数x4的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B版101页第6题）.归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a＞1或0＜a＜时yax的图象，在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如ykax（a＞0且a≠1）.作业：P69A组第7，8题P70B组第1，4题
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