高中数学 2.1.2指数函数及其性质同步测控优化训练 新人教A必修1

2.1.2指数函数及其性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A.y=（-4）xB.y=πxC.y=-4xD.y=ax+2（a＞0且a≠1）思路解析：从指数函数的定义出发解决此题.由指数函数的定义知，选B.答案：B2.右图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是()A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c思路解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a）、（1，b）、（1，c）、（1，d），由图象可知纵坐标的大小关系.答案：B3.函数y=ax-3+3（a>0且a≠1）恒过定点_________.思路解析：a3-3+3=a0+3=4.答案：（3，4）4.某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f（t），（1）写出函数y=f（t）的定义域和值域；（2）在所给坐标系中画出y=f（t）（0≤t＜6=的图象；（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z）时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）?解：（1）y=f（t）定义域为t∈［0，+∞］，值域为{y|y=2n，n∈N*}.（2）0≤t＜6时，为一分段函数y=图象如下图.7中鸿智业信息技术有限公司 （3）n为偶数时，y=；n为奇数时，y=.∴y=10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.9576，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，则y关于x的函数关系是()A.y=B.y=（）xC.y=0.9576100xD.y=1-思路解析：首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x、y的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量的t%，则有0.9576=1·（1-t%）100.∴t%=1-（0.9576.∴y=（1-t%）x=（0.9576.选A.答案：A2.当x＞0时，函数f（x）=（a2-1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A.1＜|a|＜B.|a|＜1C.|a|＞1D.|a|＞思路解析：由指数函数的性质，可知f（x）在（0，+∞）上是递增函数，所以a2-1＞1，a2＞2，|a|＞.答案：D3.已知函数f（x）=ax+a-x（a>0且a≠1），f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值为_________.思路解析：f（0）=a0+a0=2，f（1）=a+a-1=3，f（2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=9-2=7,∴f（0）+f（1）+f（2）=12.答案：124.函数y=（2m-1）x是指数函数，则m的取值是_________.思路解析：考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=ax中的底数a约定a＞0且a≠1.故此2m-1＞0且2m-1≠1，所以m＞且m≠1.答案：m＞且m≠15.已知+=3，求a2+a-2的值.思路解析：7中鸿智业信息技术有限公司 本题考查指数的运算.从已知条件中解出a的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件+=3的联系进而整体代入求值.解：将+=3两边平方得a1+a-1+2=9，即a1+a-1=7.再将其平方，有a2+a-2+2=49，从而得到a2+a-2=47.6.已知f（x）=+a为奇函数.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间.思路解析：本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力.主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义.解：（1）∵f（-x）=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f（x），由f（-x）=-f（x），得-1+2a=0.∴a=.（2）对于任意x1≠0，x2≠0，且x10且a≠1）的图象经过一、三、四象限，则一定有()A.a>1且b2+x，即x>1.故不等式f（3x）>4f（x）的解集是{x|x>1}.12.定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）证明f（0）=1；（2）证明对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）证明函数y=f（x）是R上的增函数.思路解析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.证明：（1）取a=b=0，则f（0）=f2（0）.∵f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）当x≥0时，f（x）≥1>0成立，当x0，f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，∴f（x）=>0.∴x∈R时，恒有f（x）>0.（3）法一：设x10.∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）·f（x1）.∵x2-x1>0，∴f（x2-x1）>1.又f（x1）>0，∴f（x2-x1）·f（x1）>f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.法二：设x2=x1+t（t>0），f（x2）=f（x1+t）=f（x1）·f（t）>f（x1）.或者设x11.又f（x1）>0，f（x2）>0，∴f（x2）>f（x1）.7中鸿智业信息技术有限公司