高中数学第二章2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质（二）学案（含解析）新人教A版

2.1.2 指数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方．梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x1＜x2，则与(a＞0且a≠1)的大小关系如何？答案 当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以梳理 一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．知识点三 解指数方程、不等式简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 的定义域与y＝的定义域是什么关系？的单调性与y＝的单调性有什么关系？答案 由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故的定义域与y＝的定义域相同，故研究的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0＜x1＜x2，则＞，不等号方向的改变与y＝x，y＝的单调性均有关．梳理 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0b.( × )3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.( × )4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )类型一 解指数方程例1 解下列方程．(1)81×32x＝x＋2；(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.考点 指数方程的解法 题点 指数方程的解法解 (1)∵81×32x＝x＋2，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，∴2x＋4＝－2(x＋2)，∴x＝－2.(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，解得t＝或t＝－1(舍去)．∴2x＝，解得x＝－2.反思与感悟 (1)af(x)＝b型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．跟踪训练1 解下列方程．(1)33x－2＝81；(2)＝；(3)52x－6×5x＋5＝0.考点 指数方程的解法题点 指数方程的解法解 (1)∵81＝34，∴33x－2＝34，∴3x－2＝4，解得x＝2.(2)∵＝，∴＝，解得x＝.(3)令t＝5x，则t>0，原方程可化为t2－6t＋5＝0，解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，∴x＝1或x＝0.类型二 指数函数单调性的应用命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小．(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3； (3)1.70.3,0.83.1.考点 指数幂的大小比较题点 比较指数幂大小解 (1)∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且＝0.3，又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小．(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.考点 指数幂的大小比较题点 比较指数幂大小解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜＜1，∴函数y＝x在R上是减函数．又∵－π＜0，∴－π＞0＝1，即－π＞1.(3)0.2－3＝－3＝－3＝53， 命题角度2 解指数不等式例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．考点 指数不等式的解法题点 指数不等式的解法解 ①当01，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>.∴x∈.类型三 求与指数函数复合的函数的单调区间例4 (1)求函数的单调区间；(2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．考点 指数函数的单调性题点 指数型复合函数的单调区间解 (1)函数的定义域为R.在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数， ∴在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，∴在[3，＋∞)上是减函数．∴的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)函数y＝2x－8·x＋17的定义域为R.设t＝x>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，令x≤4，得x≥－2，∴当－2≤x1t2，∴t－8t1＋17