新人教A版必修1 高中数学 2.1.2 指数函数及其性质 教案

[教案]课题：指数函数及其性质（高一新授课）教材：人教A版数学必修1第54~58页指数函数及其性质教案 教学目标知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用.能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法，增强识图用图的能力.情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质.教学重点、难点重点：指数函数的图象、性质及其简单运用.难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.教学方法与手段教学方法：探究式教学法.教学手段：采用多媒体辅助教学.教学过程一、创设情景，引出课题前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数.问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程： 动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是：y2x.问题2：某种机器设备每年按6%的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x年后，机器的价值为原来的y倍，则y与x的关系为y0.94x.思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量x与y构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同.大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）（指数函数）这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）二、探索研究(一)指数函数的概念：形如yax(a0,且a1)叫做指数函数.其中x是自变量.函数的定义域为R.函数解析式三大特征：1、指数是自变量x；2、底数是非1的正数；3、系数为1.练习：判断下列函数中哪些为指数函数。1、yx3；2、y3x；3、y(3)x；4、y1x；5、y3x；6、y3x1；7、y3x。在以前我们学过的函数中，一次函数用形如ykxb(k0)的形式表示，反比例函数k用形如y(k0)的形式表示，二次函数用yax2bxc(a0)的形式表示．这些函数x对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值.思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究价值；当x0时，ax无意义；1若a0,例如当a2,x时，2无意义，没有研究价值；2若a1，则1x1,ax是一个常量，也没有研究的必要.很好，所以有规定a0且a1（对指数函数有一初步的认识）. （二）对数函数的图象与性质：学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题.思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性.思考2：如何来画指数函数的图象呢?画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图.1思考3：画出指数函数y2x、y()x的图象并观察图象有什么特征？2函数y2x的图象位于x轴的上方，向左无限接近x轴，向上无限延伸,从左向右看，图象是上升的,与y轴交于(0,1)点.1函数y()x的图象位于x轴的上方，向右无限接近x轴，向上无限延伸，从左向右看，2图象是下降的，与y轴交于(0,1)点.11思考4：函数y2x与y()x的图象有什么关系?能否由y2x的图象得到y()x的图象？22关于y轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用.思考5：选取底数a的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和性质对应起来．利用几何画板，通过改变a的值，让学生观察图象的变化规律．思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？底数分a1和0a1两种情况．很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质吗？引导学生观察函数y2x的图象特征，并总结函数y2x的性质． 思考7：从特殊到一般，指数函数yax(a1)有哪些性质？并类比得出yax(0a1)的性质．师生共同归纳：指数函数yax(a0且a1)的图象与性质：a10a1强调：利用函数图象研究图函数性质是一种直观而形象的方象法，记忆指数函数性质时可以联想它的图象，记住（1）定义域：(,)性质的性关键在于要脑中（2）值域：(0,)有图．质（3）过定点(0,1)，即当x0时，y1三、应用（4）在(,)上是增函数（4）在(,)上是减函数举例：数学源于生活，还要服务于生活．学习函数的一个重要目标是应用．指数函数是生产生活中常见的一类函数，指数函数一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的工具．这节课我们先来了解一下它的简单应用．利用单调性比较大小．例1.比较下列各组数中各个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.80.1，0.80.2；11（3）a3,a2(a0,且a1)；（4）1.70.3，0.93.1，1．分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1.当底数相同且明确底数a与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．2．当底数相同但不明确底数a与1的大小关系时：要分情况讨论．3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．四、反馈练习：比较下列各组数中两个值的大小：（1）3.10.5，3.12.3；22（2）（）0.3,（）0.24；33（3）2.30.5，0.20.1.五、归纳小结，强化思想:本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点．1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用.3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想.六、布置作业：作业：教材P习题2.1第5、6、7、8．59思考：1．函数yax21(a0,且a1)的图象必经过点___________．12．解不等式：()x11．2教案说明本节课是人教版数学课本必修1里《2.1.2指数函数及其性质》，是在学习了《指数》一节内容之后编排的。新课标考试大纲对此内容的要求是：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。根据此要求，我首先明确了本节课的重点是 指数函数的图象、性质及其简单运用，难点是指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系。在设计本节课的教学过程中，本着遵循学生的认知规律、让学生去经历知识的形成与发展过程的原则，我设计了如下的教学程序，启发学生逐步发现和认识指数函数的图象和性质。教师活动：用电脑展示两个实例，第一个生物中细胞分裂的例子，第二个是机器折旧的问题。学生活动：①分别写出细胞个数y与分裂次数x的关系式和机器价格y与经过年份x的关系式，并互相交流；②回忆指数的概念；③归纳指数函数的概念。设计意图：通过生活实例激发学生的学习动机，扫清由概念不清而造成的知识障碍，培养学生思维的主动性，为突破难点做好准备。教师活动：①给出两个简单的指数函数在学生的协助下画它们的图象②口述出指数函数的性质。学生活动：①画出两个简单的指数函数图象②交流、讨论③归纳出研究函数性质涉及的方面④总结出指数函数的性质。设计意图：让学生动手作简单的指数函数的图象对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，然后借助“几何画板”用多媒体将指数函数的图象推广到一般情况，学生就会很自然的通过观察图象总结出指数函数的性质，同时对于底数的讨论也就变得顺理成章。教师活动：引入例1。学生活动：①学习解题的规范步骤②完成例1③完成练习④扩展视野，体会数学的应用价值。 设计意图：本环节的设计目的是实现学生对指数函数知识的初步应用，完成学生学习的“实践―――认识―――再实践”过程，力求通过例题的讲授、规范的板书养成学生良好地解题习惯，起到教师的示范作用，巩固学生对指数函数性质的理解、实现会用指数函数的性质解决数学问题。教师活动：①引导学生对课堂知识进行归纳，完成对分类讨论、数形结合等数学方法的归纳；②布置课后及拓展作业学生活动：完成对指数函数的概念和性质的课内小结并通过课后作业进一步深化学习目标。设计意图：教师在本环节引导学生对指数函数的知识进行梳理，深化知识与技能目标，并通过作业实现目标的巩固。