2016新人教a版高中数学必修一2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学案

第2课时 指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题．[知识链接]1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减．2．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．[预习导引]1．函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．2．形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．3．形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．4．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．要点一 利用指数函数的单调性比较大小例1 比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.解 (1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－≈0.2679＜0.3，所以0.72－＞0.70.3.(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．2．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较． 跟踪演练1 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(  )A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b答案 D解析 先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．要点二 指数型函数的单调性例2 判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．规律方法 1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．跟踪演练2 求函数y＝2的单调区间．解 函数y＝2的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．要点三 指数函数的综合应用例3 已知函数f(x)＝.(1)证明f(x)为奇函数． (2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明．(3)求f(x)的值域．(1)证明 由题知f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)解 f(x)在定义域上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝－＝(1－)－(1－)＝.∵x1＜x2，∴3－3＞0,3＋1＞0,3＋1＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为R上的增函数．(3)解 f(x)＝＝1－，∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜＜2⇒－2＜－＜0，∴－1＜1－＜1，即f(x)的值域为(－1,1)．规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．跟踪演练3 设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(1)解 依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋aex，∴＝0对一切x∈R成立．由此得到a－＝0， 即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.(2)证明 设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＋－＝(－)·＝(－).∵0＜x1＜x2，∴＞，∴－＞0.又1－＜0，＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)