第18讲 对数与对数运算

（一）教学目标（一）教学知识点1．对数的概念；2．对数式与指数式的互化．（二）能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．（三）众优渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题；３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？=2x=?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容：定义：一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数．例如：；；；．探究：1。是不是所有的实数都有对数？中的N可以取哪些值？⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N＞0）2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，？？⑵，；∵对任意且,都有∴同样易知：⑶对数恒等式 如果把中的b写成,则有．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N的常用对数简记作lgN．例如：简记作lg5；简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN．例如：简记作ln3；简记作ln10．（6）底数的取值范围；真数的取值范围．三、讲解范例：例1．将下列指数式写成对数式：（1）（2）（3）(4)解：（1）625=4；（2）=-6；（3）27=a；（4）．例2．将下列对数式写成指数式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）（2）=128；（3）=0.01；（4）=10．例3．求下列各式中的的值：（1）；（2）（3）（4）例4．计算：⑴，⑵，⑶，⑷．解法一：⑴设则,∴⑵设则,,∴⑶令=,∴,∴⑷令,∴,,∴解法二：⑴；⑵ ⑶=;⑷四、练习：1.把下列指数式写成对数式(1)＝８；（２）＝32；（３）＝； （４）．2.把下列对数式写成指数式(1)９＝２⑵１２５＝３⑶＝－２⑷＝－４3.求下列各式的值(1)25⑵⑶100⑷0.01⑸10000⑹0.00014.求下列各式的值(1)15⑵1⑶81⑷6.25⑸343⑹243五、课堂小结⑴对数的定义；⑵指数式与对数式互换；⑶求对数式的值．（二）教学目标（一）教学知识点对数的运算性质．（二）能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质；2.理解对数运算性质的推倒过程；3．熟悉对数运算性质的内容；4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别．（三）众优渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义其中与2．指数式与对数式的互化 3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵，⑶对数恒等式4．指数运算法则二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果a＞0，a¹1，M＞0，N＞0有：证明：①设M=p,N=q．由对数的定义可以得：M=，N=．∴MN==∴MN=p+q，即证得MN=M+N．②设M=p，N=q．由对数的定义可以得M=，N=．∴∴即证得．③设M=P由对数定义可以得M=,∴＝∴=np，即证得=nM．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．①简易语言表达：“积的对数=对数的和”……②有时逆向运用公式：如．③真数的取值范围必须是：是不成立的．是不成立的．④对公式容易错误记忆，要特别注意：，． 2．讲授范例：例1．用，，表示下列各式：．解：（1）=（xy）-z=x+y-z（2）=（=+=2x+．例2．计算（1），（2），（3），（4）解：（1）25==2（2）1=0．（3）（×25）=+=+=2×7+5=19．（4）lg=．例3．计算：(1)(2)(3)说明：此例题可讲练结合.解：(1)＝＝＝＝＝1；(2)＝＝＝2；(3)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二：lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg+lg7-lg18=lg评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4．已知，，求例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题．4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．（三）教学目标（一）教学知识点1．了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明；3．运用对数的知识解决实际问题。（二）能力训练要求会用，等变形公式进行化简．（三）众优渗透目标培养学生分析问题解决问题的能力．教学重点对数换底公式的应用．教学难点对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。教学过程一、复习引入：对数的运算法则如果a＞0，a¹1，M＞0，N＞0有： 二、新授内容：xkb1.com1.对数换底公式：(a＞0,a¹1，m＞0,m¹1,N＞0)．证明：设N=x,则=N．两边取以m为底的对数：从而得：∴．2.两个常用的推论:①，．②（a,b＞0且均不为1）．证：①；②．三、讲解范例：例1练1.已知，,用a,b表示．解：因为3=a，则,又∵7=b,∴.2.求值例2．设，求m的值．解：∵，∴，即m＝9．例3．计算：①,②． 解：①原式=．②∵，，∴原式＝．例5．已知x=，求x．分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将c移到等式左端，或者将b变为对数形式．解法一：由对数定义可知：．解法二：由已知移项可得，即．由对数定义知：．解法三：．三、课堂小结换底公式及其推论