【课标要求】2.2对数函数2.2.1对数的概念和运算律理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．了解常用对数与自然对数的意义．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．掌握对数的运算性质及其推导．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．2．3．4．5．
如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的_____(logarithm)，记作b＝______．这里，a叫作对数的____(base)，N叫作对数的_____(propernumber)．把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式：alogaN＝___，___＝logaab.由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝___，loga1＝logaa0＝___．自学导引1．对数logaN底真数Nb10
由对数的定义可以推导出下面三个运算法则：(1)loga(MN)＝_____________；(2)logaMn＝________；logaM－logaN在没有电子计算机的年代，为了复杂计算的需要，引入了以10为底的_________(commonlogarithm)．在数学研究中，有一种对数的有关解析式非常简捷方便，这种对数叫作自然对数(naturallogarithm)，它是以无理数____________为底的对数．为了方便，通常把常用对数和自然对数的符号简写为：log10N＝___，logeN＝___．2．3．logaM＋logaNnlogaM常用对数e＝2.71828…lgNlnN
幂运算和对数运算有什么不同？提示 在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x，就是对数运算．两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．自主探究1．
在对数式x＝logaN，为什么规定a>0且a≠1呢？提示(1)若a0，且a≠1.2．
已知logx16＝2，则x等于()．A．±4B．4C．256D．2解析 由logx16＝2得，x2＝16，又x＞0，所以x＝4.答案B预习测评1．
答案C
若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝________．解析log3(log4x)＝1，log4x＝3，x＝43＝64.答案6421－log27＝________．3．4．
实质上，对数表达式不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN.名师点睛1．
根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：(1)零和负数没有对数，即N>0；(2)1的对数为零，即loga1＝0；(3)底的对数等于1，即logaa＝1.对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．3．4．
学习对数的运算性质时应注意(1)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n.(2)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(3)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误，初学者常犯的错误是：5．
(4)会用语言准确叙述运算性质，对于防止出现上述错误有好处．如loga(M·N)＝logaM＋logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”．(5)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．
求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.题型一对数概念的理解【例1】典例剖析
点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
【变式1】
点评 对数恒等式alogaN＝N中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．题型二对数恒等式的应用
若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有()．①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；题型三正确理解对数运算性质【例3】解析 对数的运算性质实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．
答案A点评 正确理解对数运算性质，是利用对数运算性质解题的前提条件．
答案A【变式3】
题型四化简与求值【例4】
点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．
【变式4】
已知log2(logx4)＝1，求x的值．[错解]由底数的对数等于1得，logx4＝2，∴x2＝4，∴x＝±2.错因分析 解题过程中忽略了对数中底数的要求，即logaN中的a需满足a>0且a≠1.[正解]由底数的对数等于1得，logx4＝2，∴x2＝4，又∵x>0.∴x＝2.纠错心得 对数的表达式x＝logaN中底数a须满足a>0且a≠1，只有满足这一条件式子才能够成立，在解题时要时时记住这一点．误区警示因忽视底数的取值范围而出错【例5】
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．利用ab＝N⇔b＝logaN(其中a>0，a≠1，N>0)可以进行指数式与对数式的互化．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)．b＝logaab.对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．课堂总结1．2．3．4．5．6．
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