对数和对数运算

对数与对数运算 问题1：假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么，经过多少年国民生产总值是1995年时的2倍？a(1+8%)x∴1.08x=2怎样求出这个x?析：------a------a(1+8%)-----a(1+8%)(1+8%)=a(1+8%)2-----a(1+8%)2(1+8%)=a(1+8%)31995年生产总值1996年生产总值1997年生产总值1998年生产总值？------=2aX年…… ab=N解出b解出N指数底数幂对数底数真数a>0且a≠1N>0b∈Rb∈Ra>0且a≠1b=logaNN>0 一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作a叫做对数的底数，N叫做真数。定义：复习上节内容 练习：1.将下列指数式写成对数式(1)54=625(2)2-6=(3)3a=27(4)()m=5.734=log5625-6=log2(1/64)a=log327m=log(1/3)5.73 2.将下列对数式写成指数式(1)log16=4(2)log2128=7(3)log100.01=-2(4)loge10=2.30316=4128=270.01=10-210=e2.303 10练习1：计算下列各式的值 思考: 有关性质：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）⑵⑶对数恒等式复习上节内容 有意义吗？下面介绍两种特殊对数：１．常用对数：我们将以10为底的对数   叫做常用对数，并记做  ．２．自然对数：无理数e=2.71828…,以e为底的对数   称为自然对数，并记做 ⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数简记作lgN。⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，N的自然对数简记作lnN。（6）底数a的取值范围：真数N的取值范围:复习上节内容 例2求下列各式中x的值： 例3计算下列各式:(1)(2)(3)(1)解:(2)解:(3)解: 对于幂的运算我们有三条运算法则.现在我们学习了对数,那么对于对数之间的运算,又会有什么样的运算性质呢?幂的运算的三条法则:如果 证明：①设由对数的定义可以得：∴MN=即证得 证明：②设由对数的定义可以得：∴即证得 证明：③设由对数的定义可以得：∴即证得 如果对数运算的三条运算法则：对于上面的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立． 其他重要公式1:证明：设由对数的定义可以得：∴即证得 其他重要公式2:证明：设由对数的定义可以得：即证得这个公式叫做换底公式 其他重要公式3:证明:由换底公式取以b为底的对数得：还可以变形,得 例５用         表示下列各式：例６计算下列各式： 练习、求下列各式的值：探究换底公式：如何推导？(1)(2)(3)(4) 证明： 例7利用换底公式可得:请利用同样的方法证明:例8证明.例9计算bye!(请记住)(请记住)计算:例10例11 例11999底我国人口为13亿,人口增长的年平均增长率为1%,则x年后，我国的人口数为    ；若问多少年后我国的人口达到18亿，即解方程      ，则而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？方法：进行换底，把底换成以10，或者换成以e为底．或者 小结:积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，a1，M>0，N>0有：其他重要公式: