对数与对数运算学习讲解

对数与对数运算学习讲解1.对数的定义一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，alogaN＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式.2.对数的性质(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.3.对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)loga＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中.例1将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式： (1)log3＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解 (1)3－3＝；(2)25＝32；(3)log6216＝3；(4)log100.001＝－3，也可写成lg0.001＝－3.评注 本题考查了对数式与指数式的互化.解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数.例2求下列各式的值：(1)3log72－log79＋2log7；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解 (1)原式＝log723－log79＋log7()2＝log7＝log71＝0；(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝3.评注 利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性.