高中数学：第二章 基本初等函数（1） / 2.2 对数函数 / 2.2.1 对数与对数运算 学案 (新人教A版必修1)

第2课时 对数的运算学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点).知识点1 对数的运算性质若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)loga＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.(  )(2)loga(xy)＝logax·logay.(  )(3)loga(－2)3＝3loga(－2).(  )提示 (1)√ 根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)× 根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay；(3)× 公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数.知识点2 换底公式logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).【预习评价】(1)log35·log56·log69＝________.(2)若log34×log48×log8m＝log416，则m＝________.解析 (1)原式＝··＝＝＝2.(2)原方程可化为××＝＝2，即lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.答案 (1)2 (2)9 题型一 利用对数的运算性质化简、求值【例1】 计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.解 (1)法一 原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.法二 原式＝lg－lg4＋lg7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.规律方法 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【训练1】 计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2).解 (1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝＝＝.题型二 利用换底公式化简、求值【例2】 (1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________；(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.(1)解析 原式＝＝·＝×＝.答案 (2)解 法一 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝＝＝.法二 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝.法三 ∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18.∴log3645＝＝＝＝＝.规律方法 利用换底公式化简与求值的思路 【训练2】 (1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.解 (1)由log1227＝a，得＝a，∴lg2＝lg3.∴log616＝＝＝＝.(2)法一 原式＝·＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.法二 原式＝＝＝＝13.法三 原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝(log52＋log52＋log52)＝log25·3log52＝×3＝13.题型三 利用对数式与指数式的互化解题【例3】 (1)设3a＝4b＝36，求＋的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.解 (1)法一 由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，由换底公式得＝log363，＝log364， ∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.法二 由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，∴＝log63，＝log64＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.【训练3】 已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.解析 由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝.答案 课堂达标1.lg－2lg＋lg等于(  )A.lg2B.lg3C.lg4D.lg5 解析 lg－2lg＋lg＝lg＝lg2.故选A.答案 A2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(  )A.a－2B.5a－2C.3a－(1＋a)2D.3a－a2解析 原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.答案 A3.若logab·log3a＝4，则b的值为________.解析 logab·log3a＝·＝＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案 814.已知2m＝5n＝10，则＋＝________.解析 因为m＝log210，n＝log510，所以＋＝log102＋log105＝lg10＝1.答案 15.求下列各式的值：(1)lg14－2lg＋lg7－lg18；(2).解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.法二 原式＝lg14－lg＋lg7－lg18＝lg＝lg1＝0.(2)原式＝＝＝＝.课堂小结1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数.换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).基础过关1.若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(  )A.2B.C.100D.解析 ∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得：lga＋lgb＝－＝2，∴ab＝100.故选C.答案 C2.化简log612－2log6的结果为(  )A.6B.12C.log6D.解析 原式＝log6－log62＝log6＝log6.答案 C3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(  )A.6B.9C.12D.18解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴＝logk2，＝logk3.∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.答案 D4.计算100lg9－lg2－log98·log4＝________. 解析 100lg9－lg2－log98·log4＝10lg9÷10lg4－·＝－·＝－＝2.答案 25.已知3a＝2，3b＝，则2a－b＝________.解析 ∵3a＝2，3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.故答案为log320.答案 log3206.计算下列各式的值：(1)log3＋lg25＋lg4＋7log72；(2)2log32－log3＋log38－52log53.解 (1)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg102＋2＝－＋2＋2＝.(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.7.设3x＝4y＝6z＝t>1，求证：－＝.证明 法一 ∵3x＝4y＝6z＝t>1，∴x＝，y＝，z＝，∴－＝－＝＝＝.法二 ∵3x＝4y＝6z＝t>1，两边同时取以t为底的对数，得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，∴＝logt6，＝logt3，＝logt4，∴－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝.能力提升8.已知x，y为正实数，则(  ) A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB.2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC.2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD.2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析 2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy).故选D.答案 D9.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(  )A.3B.8C.4D.log48解析 由2x＝3得：x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.答案 A10.已知x3＝3，则3log3x－logx23＝________.解析 3log3x＝log3x3＝log33＝1，而logx23＝log33＝log33＝，∴3log3x－logx23＝1－＝－.答案 －11.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，则f(2016)＝________.解析 由f＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22016－blog32016＝2.∴alog22016＋blog32016＝－2.∴f(2016)＝alog22016＋blog32016＋2＝－2＋2＝0.答案 012.求值：(1)lg＋lg；(2)log89·log2732－()lg1＋log535－log57.解 (1)lg＋lg＝lg＝lg10＝1.(2)log89·log2732－()lg1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.13.(选做题)2016年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2016年的2倍(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年). 解 设经过x年国民生产总值为2016年的2倍.经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，…经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg1.08＝lg2.∴x＝≈≈9.故约经过9年，国民生产总值是2016年的2倍.