指数与对数运算

菁优网Http://www.jyeoo.com©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（  ）A、B、1C、D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（  ）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（  ）A、1B、bC、logbaD、alogba4、设x=+，则x属于区间（  ）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（  ）A、1B、2C、5D、1或56、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（  ）A、1B、4C、D、或47、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（  ）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（  ）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n= _________ ；= _________ ；= _________ ．10、（3+2）= _________ ；log89•log2732= _________ ；（lg5）2+lg2•lg50= _________ ．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）= _________ ，若f（x）=，且f（lga）=，则a= _________ ．12、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是 _________ ．13、方程xlgx=10的所有实数根之积是 _________ ．14、不查表，求值：lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1= _________ ．15、不查表求值：+﹣102+lg2= _________ ．三、解答题（共7小题，满分0分）16、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．（2）已知log627=a，试用a表示log1816．17、化简：+﹣．18、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．19、解下列方程（1）logx+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；20、解关于x的方程．（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．21、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．22、已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（  ）A、B、1C、D、2考点：对数的运算性质。分析：根据，从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（  ）A、=+B、=+C、=+D、=+考点：指数函数综合题。专题：计算题。分析：利用与对数定义求出a、b、c代入到四个答案中判断出正确的即可．解答：解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M代入到B中，左边===，而右边==+==，左边等于右边，B正确；代入到A、C、D中不相等．故选B．点评：考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．3、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（  ）A、1B、bC、logbaD、alogba考点：指数式与对数式的互化。©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com专题：计算题。分析：利用对数运算中的换底公式进行转化是解决本题的关键．再利用对数式和指数式之间的关系进行求解．解答：解：由对数的换底公式可以得出p==loga（logba），因此，ap等于logba．故选C．点评：本题考查对数的换底公式的运用，考查对数式与指数式之间的转化，考查学生的转化与化归能力．4、设x=+，则x属于区间（  ）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）考点：对数的运算性质；换底公式的应用。专题：计算题；函数思想。分析：由题意把两个对数换成以为底得对数，化简后合并为一个对数，再利用函数y=的单调性，求出x的范围．解答：解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．故选D．点评：本题考查了换低公式和对数的运算性质的应用，一般底数不同的对数应根据式子的特点换成同底的对数，再进行化简求值．5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（  ）A、1B、2C、5D、1或5考点：有理数指数幂的运算性质。专题：计算题；换元法。分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．解答：解：令3x=t，（t＞0），原方程转化为：t2﹣10t+9=0，所以t=1或t=9，即3x=1或3x=9所以x=0或x=2，所以x2+1=1或5故选D点评：本题考查解指数型方程，考查换元法，较简单．6、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（  ）A、1B、4©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.comC、D、或4考点：对数的运算性质。分析：根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=故选C．点评：本题主要考查对数的运算性质．7、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（  ）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质。专题：数形结合。分析：方程log2（x+4）=2x的根的情况转化为函数图象的交点问题，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象．解答：解：采用数形结合的办法，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象，画出图象就知，该方程有有一正根和一个负根，故选C．点评：本题将零点个数问题转化成图象交点个数问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（  ）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质。专题：计算题。分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．解答：∵方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com∴lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，∴lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），∴lgαβ=﹣lg35，∴α•β的值是．故选D．点评：本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认为方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β=lg7•lg5，导致错选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n= 21﹣2n ；=  ；=  ．考点：有理数指数幂的运算性质。分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n，用对数性质化简后两个代数式．解答：解：（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=22n+2﹣2n﹣1﹣2n=21﹣2n；故答案为：点评：本题考查有理指数幂的运算性质，对数的运算性质，是基础题．10、（3+2）= ﹣2 ；log89•log2732=  ；（lg5）2+lg2•lg50= 1 ．考点：对数的运算性质。专题：计算题。分析：第一个式子：找出和的联系，利用对数的运算法则求解即可；第二个式子：利用换底公式化为同底的对数进行运算，注意到8和32可化为2的幂的形式，9和27化为3的幂的形式．第三个式子：2=，50=5×10，都转化为lg5的形式，可得出结果．解答：解：==，所以=﹣2；©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.comlog89•log2732==（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；1点评：本题考查对数的运算、对数的换底公式等知，属基本运算的考查．在运算时，要充分利用对数的运算法则．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）= x ，若f（x）=，且f（lga）=，则a= 10或 ．考点：反函数；函数的值；对数的运算性质。专题：计算题。分析：（1）本题可由原函数f（x）的解析式先求出反函数f﹣1（x）的解析式，最后将自变量取值4x代入反函数f﹣1（x）的解析式，结合对数函数运算性质可得答案，（2）由自变量求解函数值可得x与a的等式，进而用自变量x表示a后代入函数解析式，从而可得仅含变量x的方程，由此解出x的值．解答：（1）由f（x）=4x得f﹣1（x）=log4x，所以f﹣1（4x）=log44x=x，故答案为x（2）令x=lga得a=10x所以f（lga）=f（x）====，故x2﹣x=解得x=1或﹣，代入a=10x，所以a=10或故答案为10或点评：第一小题主要考查反函数知识和对数函数的运算性质，是对基础知识的考查，第二小题在考查函数值的基础之上，主要考查对数与指数之间的互化，以及指数幂运算性质，其中包括对解一元二次方程等基础的考查，难度较大．12、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是 {0} ．考点：指数函数综合题。分析：本题形式可以观察出，此方程是一个复合函数型的方程，需要先解外层的方程，求出内层的函数值，再解内层方程，求出方程的解，并写成解集的形式．解答：解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0∴（2x﹣1）2=0©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com∴2x=1即x=0故方程的解集为{0}故应填{0}点评：本题考查解指数与一元二次函数复合的方程，所用的方法为换元法，此类方程的特点是由外而内，逐层求解．13、方程xlgx=10的所有实数根之积是 1 ．考点：对数的运算性质。分析：方程两边取对数，化简方程，然后求解即可．解答：解：方程xlgx=10的两边取常用对数，可得lg2x=1，∴lgx=±1，所以x=10或x=实数根之积为1．故答案为：1点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．14、不查表，求值：lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1= ﹣3 ．考点：对数的运算性质。分析：根据对数运算法则且lg5=1﹣lg2，可直接得到答案．解答：解：∵lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=1﹣lg2﹣lg2+lg2﹣2﹣2=0故答案为：0．点评：本题主要考查对数的运算法则，属基础题．15、不查表求值：+﹣102+lg2= ﹣190 ．考点：指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用。专题：计算题。分析：根据换底公式和对数的定义化简得到即可求出值．解答：解：++102+lg2=﹣2﹣102×2=9﹣2﹣200=﹣193故答案为﹣193．点评：考查学生灵活运用换底公式的能力，运用指数函数和对数定义的能力．三、解答题（共7小题，满分0分）16、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．（2）已知log627=a，试用a表示log1816．考点：换底公式的应用；对数的运算性质。分析：（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816的式子．©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com解答：解：（1）∵log310=a，∴a=，∵log625=b===，∴lg2=，log445=====．（2）∵log627=a=，∴lg3=，∴log1816===．点评：本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想．17、化简：+﹣．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算。专题：计算题。分析：利用立方差，立方和公式，把3个分式的分子分别化成因式乘积的形式，然后化简，即可得到结果．解答：解：+﹣=+﹣==﹣点评：本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，是基础题．18、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．考点：对数的运算性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系。专题：计算题。分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解答：解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以=即logαβ+logβα=﹣3点评：本题考查对数的运算法则、考查二次方程根与系数的关系、考查对数的换底公式．19、解下列方程（1）logx+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。专题：计算题；转化思想；换元法。分析：（1）应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后还原对数解答即可．（2）直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可．解答：解：（1）logx+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0化为logx+2（4x+5）﹣2[logx+2（4x+5）]﹣1﹣1=0令t=logx+2（4x+5）上式化为：当logx+2（4x+5）=﹣1时解得x=﹣1或x=都不符合题意，舍去．当logx+2（4x+5）=2时有x2=1，解得x=﹣1（舍去），x=1（2）32x+5=5•3x+2+2令t=3x+2上式化为3t2﹣5t﹣2=0解得t=﹣（舍去），t=2即3x+2=2x+2=log32所以x=点评：本题考查对数的运算性质，有理指数幂的运算，考查学生换元法，转化思想，注意方程根的验证，是中档题．20、解关于x的方程．（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．考点：对数的运算性质。©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com专题：计算题。分析：利用等价转化思想将这些方程都转化为与之等价的代数方程，通过求解代数方程达到求解该方程的目的．注意对数中真数大于零的特点．（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键．注意对字母的讨论．解答：解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1﹣a±（当a≤时），当x=1﹣a﹣时，x+a=1﹣＜0，故舍去．因此该方程的根为x=1﹣a+（当a≤时），当a＞时，原方程无根．（2）该方程可变形为log4=log4，即，整理得x2﹣7x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）．故该方程的根为x=0．（3）该方程变形为=6，即，令，则可得出t+，解得t=3±2=，因此x=±2．该方程的根为±2．（4）原方程等价于，由得出ax﹣1=10x﹣30，该方程当a=10时没有根，当a≠10时，x=，要使得是原方程的根，需满足ax﹣1＞0，且x﹣3＞0．解出a∈（，10）．因此当a∈（，10）时，原方程的根为x=，当a∈（﹣∞，]∪[10，+∝）时，原方程无根．点评：本题考查代数方程的求解，注意方程的等价变形，注意对数形式方程的真数大于零的特征，注意对所求的根进行检验，对含字母的方程要注意讨论．21、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用。专题：计算题；函数思想。分析：应用对数的运算性质，log4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数a=的值域，通过©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com的取值范围，确定a的取值范围．解答：解：∵3＜x＜4，方程即：log2（x+3）﹣log2x=a，=a∵=1﹣，＜＜1，∴0＜1﹣＜，∴﹣∞＜a＜﹣2点评：本题体现函数与方程的数学思想，应多加注意．22、已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用。专题：计算题。分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．©2010箐优网 菁优网Http://www.jyeoo.com参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wdnah；sllwyn；xintrl；yhx01248；pingfanziqun；yzhb；wdlxh；zlzhan；caoqz115588；wodeqing；gongjy。（排名不分先后）菁优网2011年10月20日©2010箐优网