2016高中数学人教a必修1第二章2.2.1　对数与对数运算

2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念[来源:www.shulihua.net](1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数logaN中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由ax＝N，a＞0知N恒大于0．(2)特殊对数名称记法说明常用对数lgN以10为底的对数，并把log10N记为lgN自然对数lnN以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(3)对数的性质根据对数的概念，对数logaN(a＞0，且a≠1)具有以下性质：性质说明零和负数没有对数，即N＞0当a＞0，且a≠1时，ax＞0，即N＝ax＞0，所以对数logaN只有在N＞0时才有意义1的对数等于0，即loga1＝0因为a0＝1，由对数的定义得0＝loga1底的对数等于1，即logaa＝1因为a1＝a，由对数的定义得1＝logaa(4)对数与指数的互化关系当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝643＝log464；log525＝252＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解 (1)由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：式子[来源:www.shulihua.net]名称[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]意义axN指数式ax＝N底数指数幂a的x次幂等于N 对数式logaN＝x底数对数真数以a为底N的对数等于x(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(  )A．100＝1与lg1＝0B．与＝C．log39＝2与＝3D．log55＝1与51＝5解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或＝3→log93＝．故选C．答案：C【例1－2】完成下表指数式与对数式的转换．题号指数式对数式(1)103＝1000(2)log210＝x(3)e3＝x解析：(1)103＝1000lg1000＝3．(2)log210＝x2x＝10．(3)e3＝xlnx＝3．答案：(1)lg1000＝3；(2)2x＝10；(3)lnx＝3．【例1－3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)logx27＝；(4)x＝log84．解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3．∴x＝103＝1000．(3)∵logx27＝，∴＝27．∴x＝＝34＝81．(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(nR)．谈重点对对数的运算性质的理解 (1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③ 正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系式子ab＝NlogaN＝b运算性质am·an＝am＋nloga(MN)＝logaM＋logaN＝am－n＝logaM－logaN(am)n＝amnlogaMn＝nlogaM谈重点对数运算性质推导的基本方法利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，于是MN＝am·an＝am＋n，因此loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n．【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，nN*，则下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④；⑤(logax)n＝logaxn；⑥；⑦．其中式子成立的个数为(  )A．2B．3C．4D．5解析：序号对错理由①×例如log24·log22＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2②×例如log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2③×例如log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2≠3④×例如＝2≠＝1⑤×例如(log24)3＝8≠log243＝6⑥√＝－logax－1＝－(－logax)＝logax⑦√＝答案：A辨误区应用对数的运算性质常见的错误 常见的错误有：loga(M±N)＝logaM±logaN；loga(M·N)＝logaM·logaN；；logaMn＝(logaM)n．【例2－2】计算：(1)2log122＋log123；(2)lg500－lg5；(3)已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求． 解：(1)原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1．(2)原式＝＝lg100＝lg102＝2lg10＝2．(3)∵＝＝(lg5＋lg9)＝＝(1－lg2＋2lg3)，又∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，∴＝(1－0.3010＋2×0.4771)＝0.8266．析规律对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg2＋lg5＝lg10＝1，所以lg5＝1－lg2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．(2)公式推导：设，则logcb＝xlogca＝logcax，∴b＝ax．∴x＝logab．∴＝logab．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a为底的对数，换成了以c为底的对数，特别有：，，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值．(4)换底公式的三个推论：①(a，N＞0，且a≠1，m≠0，m，nR)；②logab＝(a，b＞0，且a，b≠1)；③logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c＞0，且a，b，c≠1，d＞0)．证明：①logamNn＝．②logab＝．③logab·logbc·logcd＝＝logad．【例3－1】的值是(  )A．B．C．1D．2解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即 ．(思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即．答案：A【例3－2】若log34·log48·log8m＝log416，则m等于(  )A．B．9C．18D．27解析：∵log34·log48·log8m＝log416，∴＝log442＝2，化简得lgm＝2lg3＝lg9．∴m＝9．答案：B4．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号logaN中实数a和N满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数N是正实数，即因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．解析：根据对数的定义，得解得－2＜a＜0或0＜a＜1．答案：(－2,0)(0,1)【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．所以x＝－3．答案：x＝－35．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差． 如＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，＋log35＝＝log39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，lg2＋lg5＝1，logab·logba＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg2＋3lg5－；(2)；(3)2log32－＋log38－；(4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．解：(1)原式＝＝lg104＝4．(2)原式＝＝－3log32×log23＝－3．(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1．(4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]＝log2[(1＋)2－3]＝log2(3＋－3)＝．【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．解：原式＝＝＝．6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题． 例如：设x＝log23，求的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝，然后将它们代入，可得．【例6】已知3a＝4b＝36，求的值．解：(方法一)由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436．故＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1．(方法二)由3a＝4b＝36，得log63a＝log64b＝log636，即alog63＝blog64＝2．于是＝log63，＝log62，＝log63＋log62＝log66＝1．析规律与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数logax和logby等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN；＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(nR)．换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．【例7－1】已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝(  )A．   B．C．D．解析：由换底公式得log36＝．答案：B 【例7－2】已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．解：(方法一)∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b．于是log3645＝＝．(方法二)∵log189＝a，且18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18．∴log3645＝．8．与对数有关的方程的求解问题关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x的方程logaf(x)＝b，通常将其化为指数式f(x)＝ab，这样解关于x的方程f(x)＝ab即可，最后要注意验根．例如：解方程，将其化为指数式为，又，则，所以x＝1，经检验x＝1是原方程的根．第二类是形如关于x的方程logf(x)n＝b，通常将其化为指数式fb(x)＝n，这样解关于x的方程fb(x)＝n即可，最后要注意验根．例如，解方程log(1－x)4＝2，将其化为指数式为(1－x)2＝4，解得x＝3或x＝－1，经检验x＝3是增根，原方程的根是x＝－1．第三类是形如关于x的方程f(logax)＝0，通常利用换元法，设logax＝t，转化为解方程f(t)＝0得t＝p的值，再解方程logax＝p，化为指数式则x＝ap，最后要注意验根．【例8－1】已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求的值．解：由已知，可得lg(xy)＝lg(x－2y)2，从而有xy＝(x－2y)2，整理得x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0．从而可得x＝y或x＝4y．但由x＞0，y＞0，x－2y＞0，可得x＞2y＞0，于是x＝y应舍去．故x＝4y，即．因此＝4．辨误区解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．【例8－2】解方程lg2x－lgx2－3＝0．解：原方程可化为lg2x－2lgx－3＝0．设lgx＝t，则有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3， 于是lgx＝－1或3，解得或1000．经检验，1000均符合题意，因此原方程的根是，或x＝1000．辨误区lg2x与lgx2的区别 本题中，易混淆lg2x和lgx2的区别，lg2x表示lgx的平方，即lg2x＝(lgx)2，而lgx2＝2lgx．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.3010)解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(1－60%)n＜0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n＜0.001，两边取常用对数得n·lg0.4＜lg0.001，所以n＞≈7.5．故至少需要抽8次．点技巧求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．