高中数学：第二章 基本初等函数（1） / 2.2 对数函数 / 2.2.1 对数与对数运算 学案 (新人教A版必修1)

青海省青海师大附属第二中学高一数学一、教学要求：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化．二、教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化.三、教学难点：对数概念的理解.四、教学过程：（一）、复习准备：★1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？（得到：＝？，＝0.125x=?）★2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（得到：=2x=?）▲问题共性：已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：课本实例由求x（二）、讲授新课：1.教学对数的概念：①定义：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）.记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数②定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（commonlogarithm），并把常用对数简记为lgN在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN→认识：lg5;lg3.5；ln10；ln3③讨论：指数与对数间的关系（时，）式子名称abN指数式ab=N底数指数幂对数式logaN=b底数对数真数负数与零是否有对数？（原因：在指数式中N>0），2.教学指数式与对数式的互化：★①出示P63：例1.将下列指数式写成对数式：；；；★②出示例2.将下列对数式写成指数式：；lg0.001=-3；ln100=4.606（学生试练→订正→变式：lg0.001=？）★③出示例3.求下列各式中x的值：；；；（讨论：解方程的依据？→试求→小结：应用指对互化求x）★④练习：求下列各式的值：；；10000★⑤探究：3.小结：对数概念；lgN与lnN；指数与对数的互化；如何求对数值三、巩固练习： 1.练习：课本64页练习1、2、3、4题2．计算：；；；；.3.作业：书P74：1、2、3、4题 第二课时：2.2.1对数与对数运算（二）一、教学要求：掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题.二、教学重点：运用对数运算性质解决问题三、教学难点：对数运算性质的证明方法四、教学过程：（一）、复习准备：1．提问：对数是如何定义的？→指数式与对数式的互化：2．提问：指数幂的运算性质？（二）、讲授新课：1.教学对数运算性质及推导：①引例：由，如何探讨和、之间的关系？设,，由对数的定义可得：M=，N=∴MN==∴MN=p+q，即得MN=M+N②探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？如果a>0，a¹1，M>0，N>0，则;；③讨论：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）2.教学例题：①出示例1.用,,表示下列各式：;（学生讨论：如何运用对数运算性质？→师生共练→小结：对数运算性质的运用）②出示例2.计算：；；；lg③探究：根据对数的定义推导换底公式（，且；，且；）．作用：化底→应用：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？④练习：运用换底公式推导下列结论：；（三）、巩固练习：1.设,，试用、表示.变式：已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg的值.2.计算：；；.3.试求的值*4.设、、为正数，且，求证：5.已知3=a，7=b,用a,b表示566.问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？（答案：→→ ）（四）、实际应用练习：★出示例5：（P66）20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级（精确到0.1）；（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）●分析解答：读题摘要→数量关系→数量计算→如何利用对数知识？③出示例6：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？●分析解答：读题摘要→寻找数量关系→强调数学应用思想⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数；思考：t关于P的函数？（）2.小结：初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）；用数学结果解释现象（五）、课堂巩固练习：1.计算：；2.我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？（六）、学生作业：◆1、如果在今后若干年内，我国的国民经济生产总值都在平均每年增长9%的水平，则要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是哪一年？解：a(1+9%)x=4a,x==≈16,即经过16年，即要到2011年我国国民经济生产总值比1995年翻两番。（计算时取lg2=0.3；lg109=2.04)★【题2】（2007年湖南·T1）、若，，则．答案为：3★【题3】函数的图象大致是（） ●解：=选(D)（七）、课堂回顾与总结：对数及其运算的基本知识体系：1、对数概念：若ab=N,⇔则有b=logaN(常用对数lgN,自然对数lnN)Þ负数和零没有对数。2、对数的运算性质：(换底公式的应用）：①loga1=0；②logaa=1；③=_____；④logab·logbc=____；⑤logab·logba=____；⑥=___;⑦loga(M·N)=____；⑧loga()=_______；⑨logaNb=____