对数运算讲义

龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校指数、对数运算一、知识要点：（1）n次方根的定义：一般地，若则x叫做a的n次方根。叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。（2）方根的性质：①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数，记作：。②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数），记作：。③负数没有偶次方根。④0的任何次方根为0。（3）根据n次方根的定义，易得到以下常用公式：①当n为任意正整数时，()=a.②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.（4）正数的正分数指数幂的意义①(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)②(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)（5）指数幂的运算性质:（6）对数的定义：如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作。（7）对数恒等式。（8）对数运算法则：如果a>0，a¹1，M>0，N>0有（9）对数换底公式：14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校(a>0,a¹1，m>0,m¹1,N>0)。（10）两个常用的推论:①，②（a,b>0且均不为1）．二、例题选讲例1、画出函数的图象．变式：化简下列各式（1）；（2）；（3）；（4）．例2、计算（1）；（2）；（3）。14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校例3、化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）；（2）；（3）．例4、化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）；（2）；（3）；（4）．例5、已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）。14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校例6、已知（1）求的值；（2）求的值。例7、已知，对于，式子能化成关于的整数指数幂的可能情形有几种？例8、设，为不等于1的正数，且，求证：14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校例9、计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）例10、（1）已知，，用表示；（2）设，用表示；（3）已知，用表示．14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校例11、设，，且，求的最小值。例1２、（1）已知，求的值。（2）已知正实数满足，①求的值；②试比较的大小。变式：设，则的值为.14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校例1３、若，求的值。例1４、若，且满足关系式，求的值。例1５、（1）计算的值；（2）已知且，求的值。分析：由于指数较为复杂，考虑取对数，从而使幂运算转化为乘法运算，降底难度．14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校三、巩固练习：1．下列各式中成立的一项是（）A．B．C．D．2．化简的结果是（）A．B．C．D．3．（）等于（  ）  A．1B．－1C．2D．－2４．计算=.5．若logax＝logby＝－logc2，a，b，c均为不等于1的正数，且x＞0，y＞0，c＝，则xy＝________．６．＝    ．２７．已知关于x的方程2a－7a+3=0有一个根是2,求a的值和方程其余的根８．已知，求的值。９．若2（x－2y）＝x＋y，求的值。10．已知函数是任意实数且，证明：14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校参考答案：例1、分析：根据方根的性质，将函数进行化简,再作图．解：   它的图象是两条射线．变式1：解：（1）原式=.(2)原式=(3)原式＝(4)原式＝．例2、解：（１）原式＝．（２）原式＝．（３）原式＝．例3、解：先将根式化为分数指数幂，多重根式先内后外；除法先化简分子分母，然后再进行指数的加减；注意带括号运算．（１）原式＝．（２）原式＝．（３）原式＝．例4、解：（１）原式＝．（２）原式＝．（３）原式＝     ＝     ＝14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校     ＝当时，；当时，．所以原式＝．（４）原式＝．例5、分析：从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法可行但太繁琐．如果注意所求式子与已知条件的关系，整体代入求值，则计算简便．解：（１）因为且，    ．（２）．（３）．或者：．（４）．例6、解：（１）．（２）由（１）可知所以．14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校例7、分析：先将原式化简，写成关于的指数幂的形式，然后再分析指数的可能情形．解：．，当且仅当时，为整数．故式子能化成关于的整数指数幂的可能情形有３种．例8、证：从而，，．例9、解：（１）原式＝．（２）原式＝＝．（３）原式＝     ＝．（４）原式＝．（５）原式＝．例10、解：（１），．（２）．（３），14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校．例11、解：令，∵，，∴．由得，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴当时，．例1２、解：（１）．（２）设，则①．②，．，从而．变式：解：，．例1３、分析：在求解过程中，要注意真数要大于０的限制条件．解：，14 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校，或，由题意知，所以，．例1４、解法一（对数转化为指数）：设，则    ，，，，．    ，．解法二（利用换底公式）：，，．例1５、分析：由于指数较为复杂，考虑取对数，从而使幂运算转化为乘法运算，降底难度．解：（１）设，则．（２）设，则，所以，同理，，所以原式＝０．三、巩固练习：1．D；2．C；3．B；４．；5．；６．２；７．解:2a－7a+3=0,a=或a=3.a=时,方程为:8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log314 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校a=2时,方程为:·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2８．解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。９．解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．  又x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y． 所以＝．10．证：即．14