高一数学讲义 对数运算与对数函数

第5讲对数运算与对数函数高考要求对数运算和对数函数要求层次重难点对数的概念及其运算性质B理解对数的概念掌握当底数与时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式A对数函数的概念B对数函数的图象和性质C指数函数与对数函数互为反函数（且）B知识精讲板块一：对数的定义和相关概念(一)知识内容1.对数：一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.关系式指数式底数指数幂（值）对数式底数对数真数对数恒等式及对数的性质，对数满足：⑴零和负数没有对数；⑵的对数是零，即；⑶底的对数等于，即.高一数学·第5讲·学生版page10of10 2.常用对数：通常将以为底的对数叫做常用对数，并把记为.3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并且把记为.4.对数与指数间的关系：当时，.5.指数和对数的互化：.，（二）主要方法：1.重视对数的概念，应用基础概念解决具体问题2.熟练运用指数和对数的互化（三）典例分析：【例1】⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①；②；③；④；⑤；⑥.⑵求下列各式中的值：①；②；③；④.【例2】将下列对数式写成指数式：（1）；（2）128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303【例3】⑴，⑵，⑶，⑷高一数学·第5讲·学生版page10of10 板块二：对数的运算性质和法则(一)知识内容1.对数的运算性质：如果，且，那么：⑴；（积的对数等于对数的和）推广⑵；（商的对数等于对数的差）⑶⑷（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）2.换底公式：（）换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于且不等于的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的..3.关于对数的恒等式①②③④⑤（二）主要方法1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.高一数学·第5讲·学生版page10of10 （三）典例分析【例1】求下列各值：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼.【例2】若、，且、，，则A.B.C.或D.、为一切非1的正数【例3】⑴，，那么等于______（用，表示）；⑵知，，用表示.【例4】已知且，则等于A.B.C.D.高一数学·第5讲·学生版page10of10 【例1】已知，且，求的值.【例2】下列各式中，正确的是A.B.C.D.板块三：对数函数1.对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集.2.对数函数的图象和性质：一般地，对数函数且）的图象和性质如下表所示：图象定义域值域性质⑴过定点，即时，⑵在上是减函数；（2）在上是增函数.【例3】求下列函数的定义域：⑴；⑵；⑶.高一数学·第5讲·学生版page10of10 【例1】求函数的定义域和值域.【例2】比较下列各组数的大小：⑴，；⑵，；⑶，且;⑷，，.【例3】⑴若，则（）A.B.C.D.⑵已知，求的取值范围.【例4】已知函数，，⑴试比较函数值与的大小；⑵求方程的解集.高一数学·第5讲·学生版page10of10 【例1】设，则f（3）的值是A.128B.256C.512D.8【例2】函数在上恒有，求的范围.【例3】下面结论中，不正确的是A.若a＞1，则与在定义域内均为增函数B.函数与图象关于直线对称C.与表示同一函数D.若，则一定有【例4】若，则a的取值范围是A.B.C.D.或a＞1【例5】若关于至少有一个实数根，则求的取值范围.【例6】如果，求的取值范围.高一数学·第5讲·学生版page10of10 【例1】已知函数的定义域为，值域为，且在上为减函数.（1）求证＞2；（2）求a的取值范围.【例2】在函数，的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4，（1）若△ABC的面积为S，求S＝f（t）；（2）判断S＝f（t）的单调性；（3）求S＝f（t）的最大值.【例3】已知a＞0，a≠1，，比较和的大小.高一数学·第5讲·学生版page10of10 家庭作业习题1.求值：⑴；⑵；⑶；⑷.习题2.若、，且、，，则A.B.C.或D.、为一切非1的正数习题3.已知，，用表示.习题4.求下列函数的定义域：⑴；⑵.习题5.（2005年天津文）已知，则（）A.B.C.D.习题6.如果，求的取值范围.高一数学·第5讲·学生版page10of10 月测备选习题1.求下列各式中的值：①；②；③；④.习题2.解方程习题3.求函数的定义域和值域.高一数学·第5讲·学生版page10of10