2019-2020年高中数学必修一2.2.1《对数与对数的运算》Word精讲精析

2019-2020年高中数学必修一2.2.1《对数与对数的运算》Word精讲精析学习目标展示（1）理解对数的概念、常用对数及自然对数的概念；会进行对数式与指数式的互化；（2）掌握对数的运算法则，会进行对数运算；（3）对数的换底公式；衔接性知识1.已知，求实数的值解：由已知，得，所以或2.如果，那么实数的值是多少呢？基础知识工具箱要点定义符号对数若，则叫做以为底的对数.底数，真数特殊对数常用对数以10为底的对数叫做常用对数自然对数以无理数为底的对数叫做自然对数指数式与对数式的互化当，时，对数的性质（1）（2）（3）对数的运算法则（1）（2）（3），（其中＞0且≠1，M＞0，N＞0）换底公式logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）变形：（1）（2）（3）典例精讲剖析例1.用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.解：(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay；(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay；(3)loga＝loga＝(logax－loga(yz2))＝(logax－logay－2logaz)．例2．计算下列各式的值：（1）；（2）； （3）解：（1）方法一：原式====.方法二：原式===.（2）原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.（3）原式＝(lg2)2＋2lg2(1＋lg5)＋(1＋lg5)2＝(lg2＋1＋lg5)2＝22＝4.【小结】易犯lg52=(lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.计算对数的值时常用到lg2+lg5=lg10=1.例3．（1）已知lg2=m，lg3=n，用m、n表示lg；（2）设logax=m，logay=n，用m、n表示；（3）已知lgx=2lga+3lgb–5lgc，求x.【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.解：（1）（2）（3）由已知得：，∴.例4．已知log189=a，18b=5，求log3645.解：方法一：∵log189=a，18b=5，∴log185=b，于是==.方法二：∵log189=a，18b=5，∴lg9=alg18，lg5=blg8，∴=.精练部分A类试题（普通班用） 1．下列式子中正确的个数是(  )①loga(b2－c2)＝2logab－2logac②(loga3)2＝loga32③loga(bc)＝(logab)·(logac)④logax2＝2logaxA．0   B．1   C．2   D．3[答案] A2.计算：(1)2log210＋log20.04(2)(3)(4)log8＋2log(5)log6－2log63＋log627.[解析](1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2(2)＝＝＝1(3)＝＝＝1－lg3＝lg(4)log8＋2log＝log2＋log3＝log6＝－1(5)log6－2log63＋log627＝log6－log69＋log63＝log6(××3)＝log6＝－2.3.(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值解：(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，则a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.(2)∵10a＝2,10b＝3，∴lg2＝a，lg3＝b.则1002a－b＝1002lg2－lg3＝100lg＝(102)lg＝(10lg)2＝2＝4.计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.（2）log89·log2732.（3）（log25+log4125）·.解：（1）原方程等价于××=2，即log3m=2，∴m=9.（2）解法一：原式=·=·=.解法二：原式=·=·=.（3）解：原式=（log25+log25）·=log225·log52=log25·log52=log25·log52= 5.若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．[解析] 设25a＝53b＝102c＝k，则a＝log2k，b＝log5k，c＝lgk.∴logk2＝，logk5＝，logk10＝，又logk2＋logk5＝logk10，∴＋＝.B类试题（3+3+4）（尖子班用）1.下列式子中正确的个数是(  )①loga(b2－c2)＝2logab－2logac②(loga3)2＝loga32③loga(bc)＝(logab)·(logac)④logax2＝2logaxA．0   B．1   C．2   D．3[答案] A2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为(  )A．a－2B．5a－2C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1[答案] A[解析] 由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.3.如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为(  )A．lg2·lg3B．lg2＋lg3C．－6D.[答案] D[解析] 由题意知lgx1和lgx2是一元二次方程u2＋(lg2＋lg3)u＋lg2·lg3＝0的两根∴lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)，即lg(x1x2)＝lg，∴x1x2＝.4.log6[log4(log381)]＝________.[答案] 0[解析] log6[log4(log381)]＝log6(log44)＝log61＝05.已知lg3＝0.4771，lgx＝－3.5229，则x＝________.[答案] 0.0003[解析] ∵lgx＝－3.5229＝－4＋0.4771＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x＝0.0003.6.设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________. [答案] [解析] 由log89＝a得log23＝a，∴＝，又∵log35＝＝b，∴×＝ab，∴＝ab，∴lg2＝.7.计算：(1)2log210＋log20.04(2)(3)(4)log8＋2log(5)log6－2log63＋log627.[解析] (1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2(2)＝＝＝1(3)＝＝＝1－lg3＝lg(4)log8＋2log＝log2＋log3＝log6＝－1(5)log6－2log63＋log627＝log6－log69＋log63＝log6(××3)＝log6＝－2.8.(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值解：(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，则a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.(2)∵10a＝2,10b＝3，∴lg2＝a，lg3＝b.则1002a－b＝1002lg2－lg3＝100lg＝(102)lg＝(10lg)2＝2＝9.已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值．[解析] 由已知条件得即，整理得∴x－2y＝0，因此＝2.10.若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．[解析] 设25a＝53b＝102c＝k，则 a＝log2k，b＝log5k，c＝lgk.∴logk2＝，logk5＝，logk10＝，又logk2＋logk5＝logk10，∴＋＝.