高考数学复习点拨 对数与对数运算要点精析

对数与对数运算要点精析一、对数的概念及运算性质1．对数的概念⑴对数式logN=b是由指数式a=N而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂值N，而对数值b是指数式的幂指数．这是指数式与对数式互化的依据．⑵当底数a＞0，且a≠1，真数N＞0时，logN才有意义．⑶关于对数的几个结论：①零和负数没有对数；②log1=0；③loga=1；④．⑷当底数a=10时，叫做常用对数，记做lgN；当底数a=时，叫做自然对数，记做lNN，其中是一个无理数，=2.71828……．2．掌握对数符号“log”的含义对数符号“log”同“＋、－、×、”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．3．指数式与对数式的关系及运算性质的联系与区别由于指数式与对数式是同一关系的不同表示形式，所以要注意与指数式的关系及运算法则的联系和区别，如下列两个表所示．式子名称abN指数式a=N底数指数幂值对数式logN=b底数对数真数⑴指数式与对数式的关系⑵指数运算性质与对数运算性质的比较指数运算性质对数运算性质·=log(MN)=logM＋logN ()==(a＞0，b＞0，M，NR)log=logM－logNlogM=NlogM(M＞0，N＞0，a＞0，a≠1，NR)⑶对数运算可看作指数运算的逆运算，对数运算性质的着呢革命，可利用定义将对数问题转化为指数问题，利用指数的性质进行证明．4．对数的运算实质是把积、商、幂的运算分别转化为加、减、乘的运算，在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参数与运算，即logN是不可分开的一个整体，logN≠log·N．5．因为a＞0，所以不论b是什么实数，都有a＞0，这就是说不论b是什么数，N永远是正数，因此，负数和零没有对数．二、应注意的几个问题1．运用对数的性质及运算法则应注意的问题：⑴要理解logN=b和a=N是a、b、N同一关系的不同表示形式，这两种形式可以互化，这是学习对数的性质和运算法则的关键；⑵利用对数的性质及运算法则时运算时，首先要注意各个字母的取值范围，即真数为正数，底为不等于1的正数；然后注意积的对数等于同底的对数和；商的对数等于同底的对数差；幂的对数等于底的对数与幂指数的积；⑶在运用logM=NlogM时，要特别注意条件，如在无M＞0的条件下应有logM=2log|M|．⑷还要防止出现诸如log(M±N)=logM±logN，log(M·N)=logM·logN，log=等这样的错误，产生这种错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆起来．2．在进行指数式与对数式互化时，既要知道指数式可化为对数式，即a=NlogN=b，又要知道对数式可以化为指数式，即logN=ba=N．在利用对数运算法则时，既要晓得log(MN)=logM＋logN，又要会用logM＋logN=log(MN)．以上这些都是逆向思维的表现形式． 3．对一个等式的两边取同底的对数，是一种常用的解题技巧，一般当给出的等式是指数形式时，常用此解题方法．三、典型例题评析设a，b为正数，且a－2ab－9b=0，求lg(a＋ab－6b)－lg(a＋4ab＋15b)的值．由a－2ab－9b=0，得()－2()－9=0，令=x＞0，∴x－2x－9=0，解得x=1＋，(舍去负根)，且x=2x＋9，∴lg(a＋ab－6b)－lg(a＋4ab＋15b)=lg=lg=lg=lg=lg=lg=lg=－．评析：运用对数运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有当所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立．例2已知log[log(logx)]=log[log(logy)]=log[log(logz)]=0，试比较x、y、z的大小．由log[log(logx)]=0得，log(logx)=1，logx=，即x=2；由log[log(logy)]=0得，log(logy)=1，logy=，即y=3；由log[log(logz)]=0得，log(logz)=1，logz=，即z= 5．∵y=3=3=9，∴x=2=2=8，∴y＞x，又∵x=2=2=32，z=5=5=25，∴x＞z．故y＞x＞z．评析：在解题前需要先将x、y、z分别求出再比较大小，也就是将已知对数式化为指数式．