对数与对数运算 第二课时

2．2.1 对数与对数运算第二课时第二课时 对数的运算[读教材·填要点]1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)logaMN＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．[来源:学.科.网]2．对数换底公式logab＝(a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)．[小问题·大思维]1．如果将“M>0，N>0”改为“MN>0”，则性质(1)和(2)还成立吗？提示：不能．当M0，a≠1，b≠1，那么logab·logba为何值？提示：logab·logba＝·＝1.3．若logab有意义，如何用logab表示loganbn和logambn(其中m≠0，n≠0)?[来源:Z|xx|k.Com]提示：loganbn＝＝＝＝logab；logambn＝＝＝logab.对数运算性质的应用[来源:学+科+网][例1] 求下列各式的值．(1)31＋log36－24＋log23＋103lg3＋()log34－1； (2)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5；(3)lg500＋lg－lg64＋50(lg2＋lg5)2.[自主解答] (1)原式＝3·3log36－16·2log23＋10lg27＋32－log316＝18－48＋27＋＝－.(2)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2＋3lg2·lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.(3)法一：原式＝lg(500×)－lg＋50[lg(2×5)]2＝lg800－lg8＋50＝lg＋50＝lg100＋50＝2＋50＝52.法二：原式＝lg5＋lg100＋lg8－lg5－lg82＋50＝lg100＋50＝52.——————————————————(1)在应用对数运算性质时，应注意保证每个对数式都有意义.(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.————————————————————————————————————————1．求下列各式的值．(1)log535－2log5＋log57－log51.8；(2)2log32－log3＋log38－5log53.解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.(2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1.换底公式的应用 [例2] (1)计算：(log43＋log83)·；(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.[自主解答] (1)原式＝(＋)·＝·＋·＝＋＝.(2)因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是法一：log3645＝＝＝＝.法二：lg9＝alg18，lg5＝blg18，所以log3645＝＝＝＝＝.保持例2(2)条件不变，求log3036的值．解：∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3036＝＝＝＝＝.    ——————————————————(1)利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.————————————————————————————————————————2．求值：(log32＋log92)(log43＋log83)解：(log32＋log92)(log43＋log83) ＝＝＝×＝×＝.对数的综合应用[例3] 已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证－＝.[自主解答] 设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，(1)由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，∵log3k≠0，∴p＝2log34.(2)－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，∴－＝.——————————————————解决此类问题的关键是利用对数运算性质，去掉对数符号，找出变量之间的关系或求出它们的值，再代入要求式，运算即可.————————————————————————————————————————3．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝________.解析：∵7a＝k，∴a＝log7k,8b＝k，∴b＝log8k.∴＋＝logk7＋logk8＝logk56＝1.∴k＝56.答案：56解题高手易错题[来源:Z*xx*k.Com]审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！  已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log的值．[错解] ∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.即(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y.即＝1或＝4.∴log＝0或log＝4.[错因] 忽略了对数的真数必须大于0这一前提，因而出现了0和4这两个结果．[正解] 由已知得xy＝(x－2y)2，即(x－y)(x－4y)＝0，得x＝y或x＝4y.∵x>0，y>0，x－2y>0，∴x>2y>0.∴x＝y应舍去，∴x＝4y即＝4.∴log＝log4＝4.1．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(  )①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.A．②④      B．①③C．①④D．②③解析：∵xy>0.∴①中若x