对数与对数运算知识点及例题解析

对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．2、以10为底的对数叫做常用对数,log10N记作lgN.3、以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，logeN记作lnN4、对数的性质:(1)(2)对数恒等式①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．5、对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：⑤logamMn＝logaM.⑥换底公式：特殊情形：logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.类型一、指数式与对数式互化及其应用例1、将下列指数式与对数式互化：（1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2、求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x(4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；  (2)；  (3)10x=100=102，于是x=2；  (4)由 例3、若x＝log43，则(2x－2－x)2等于(  )A.   B.   C.   D.解由x＝log43，得4x＝3，即2x＝，2－x＝，所以(2x－2－x)2＝2＝.类型二、利用对数恒等式化简求值例4、求值： 解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数例5、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.  (1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b（2）原式=lg26=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg22+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1)  (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)   (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1  (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2     =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得 .例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：        .例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0.求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)， ∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb     即.类型四、换底公式的运用例11、(1)已知logxy=a，用a表示；     (2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x，bn=x，cp=x     ，      ；方法二：.例12、求值：(1)；(2)；(3).解：(1)  （2）；  （3)法一：   法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例13、求值  (1)log89·log2732  (2)  (3)  (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)  解：(1)原式=.    (2)原式=    (3)原式=    (4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)          例14、已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?  解：∵∴，