新人教A版必修1高中数学第2章基本初等函数Ⅰ2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算学案

第2课时　对数的运算学习目标核心素养1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？[提示]　不一定．2．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝．1．计算log84＋log82等于(　　)A．log86　　　　B．8C．6D．1D　[log84＋log82＝log88＝1.]2．计算log510－log52等于(　　)A．log58B．lg5C．1D．2C　[log510－log52＝log55＝1.]3．log23·log32＝________．1　[log23·log32＝×＝1.]-6- 对数运算性质的应用【例1】　计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3).[解]　(1)原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝＝＝＝.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；-6- (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．1.求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数的换底公式【例2】　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解]　(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝.(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)[解]　∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，∴log915＝＝＝＝.1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．-6- 2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.(2)原式＝＝＝·＝.对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a＝3b，则等于多少？提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？提示：logab·logba＝1，即logab＝.【例3】　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．思路点拨：[解]　∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝.1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．[解]　∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.-6- 2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．[解]　∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c＝－＝＝