高中数学对数运算和对数函数

第5讲对数运算和对数函数知识框架高考要求对数运算和对数函数要求层次重难点对数的概念及其运算性质B理解对数的概念掌握当底数与时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式A对数函数的概念B对数函数的图象和性质C指数函数与对数函数互为反函数（且）B例题精讲本讲的内容为对数和对数函数，关于对数的历史，在后面的小故事中有所体现，还有一部分可称为前转：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出，伽利略把对数与宝贵的空间和时间相提并论.对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道,数字之大、计算量之繁重,真的难以想象,于是便产生了简化计算的想法.从年,标尔基用了八年的时间,一个数一个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了开普勒的大忙.开普勒认识到了对数表的使用价值,劝标尔基赶快把对数表出版,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决心出版.正在标尔基犹豫不决的时候,年月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《奇妙的对数表的说明》一书,这个对数表的出版震动了整个数学界.“对数”一词是纳皮尔首先创造的,意思是“比数”.他最早用“人造的数”来表示对数. 俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高.板块一：对数的定义和相关概念(一)知识内容在指数函数中，对于每个，存在唯一的与之对应，幂指数叫做以为底的的对数，这样从到的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1.对数：一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.关系式指数式底数指数幂（值）对数式底数对数真数对数恒等式及对数的性质，对数满足：⑴零和负数没有对数；⑵的对数是零，即；⑶底的对数等于，即.2.常用对数：通常将以为底的对数叫做常用对数，并把记为.3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并且把记为.4.对数与指数间的关系：当时，.5.指数和对数的互化：.，（二）主要方法：1.重视对数的概念，应用基础概念解决具体问题2.熟练运用指数和对数的互化 （三）典例分析：【例1】⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①；②；③；④；⑤；⑥.⑵求下列各式中的值：①；②；③；④.【例2】将下列对数式写成指数式：（1）；（2）128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303【例3】⑴，⑵，⑶，⑷ 板块二：对数的运算性质和法则(一)知识内容1.对数的运算性质：如果，且，那么：⑴；（积的对数等于对数的和）推广⑵；（商的对数等于对数的差）⑶⑷（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）以性质⑴为例进行证明如下：已知，（、），求设，，根据对数的定义，可得，由∴2.换底公式：（）证明：法一：根据指数的运算性质推导设，则.两边取以为底的对数，得，所以，即.法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：，所以有.换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于且不等于的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的.常见错误：；；.3.关于对数的恒等式 ①②③④⑤（二）主要方法1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.（三）典例分析【例1】求下列各值：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼.【例2】求值：⑴；⑵；⑶；⑷.【例3】若、，且、，，则A.B.C.或D.、为一切非1的正数【例4】⑴，，那么等于______（用，表示）；⑵知，，用表示. 【点评】⑴换底公式的一个重要应用：⑵，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应用.【例1】已知，，求【例2】已知，，用表示.【例3】已知且，则等于A.B.C.D.【例4】已知，且，求的值.【例5】下列各式中，正确的是A.B.C.D.【例6】已知，求实数的值. 【例1】设a为实常数，解关于x的方程.板块三：对数函数1.对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集.2.对数函数的图象和性质：一般地，对数函数且）的图象和性质如下表所示：图象定义域值域性质⑴过定点，即时，⑵在上是减函数；（2）在上是增函数.因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照.如：指数函数的值域，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线对称等. 【例1】求下列函数的定义域：⑴；⑵；⑶.【例2】求下列函数的定义域：⑴；⑵.【例3】已知且，⑴求的定义域；⑵讨论函数的单调性；【例4】求函数的定义域和值域. 【例1】函数的值域是A.y＞0B.y∈RC.y＞0且y≠1D.y≤2【例2】已知函数，⑴若此函数的定义域为，求实数的取值范围；⑵若此函数的值域为，求实数的取值范围.【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解.【例3】已知函数的定义域为R，值域为，，求m，n的值.【例4】下面结论中，不正确的是A.若a＞1，则与在定义域内均为增函数B.函数与图象关于直线对称C.与表示同一函数D.若，则一定有【例5】已知①当a，b＞0且a≠b时，求f(x)的定义域；②当a＞1＞b＞0时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明 【例1】在函数，的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4，（1）若△ABC的面积为S，求S＝f（t）；（2）判断S＝f（t）的单调性；（3）求S＝f（t）的最大值.【例2】已知函数的定义域为，值域为，且在上为减函数.（1）求证＞2；（2）求a的取值范围. 【例1】对于，⑴函数的“定义域为”和“值域为”是否是一回事；⑵结合“实数取何值时，在上有意义”与“实数取何值时，函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.⑶结合⑴⑵两问，说明实数的取何值时的值域为.【例2】⑷实数取何值时，在内是增函数.⑸是否存在实数，使得的单调递增区间是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【点评】该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理. 【例1】比较下列各组数的大小：⑴，；⑵，；⑶，且;⑷，，.【点评】利用对数函数的性质比较大小的题，一般都可以通过对数函数的单调性，通过直接比较、中间值法或者图象法得到相关结论.如：设，比较，，的大小.，于是.【例2】设，则f（3）的值是A.128B.256C.512D.8【例3】a、b、c是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c【例4】（2005年天津文）已知，则（）A.B.C.D.【例5】如果，那么a，b的关系及范围. 【例1】⑴若，则（）A.B.C.D.⑵已知，求的取值范围.【点评】在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数，底数的大小比较可以通过作一条直线：，于四条曲线分别交于点，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数的值，故比较这四点的横坐标即可.【例2】已知函数，，⑴试比较函数值与的大小；⑵求方程的解集.【例3】函数在上恒有，求的范围. 【例1】已知a＞0，a≠1，，比较和的大小.【例2】若，则a的取值范围是A.B.C.D.或a＞1【例3】若关于至少有一个实数根，则求的取值范围.【例4】设，为正数，若有解，则求的取值范围. 【例1】如果，求的取值范围.【例2】已知，，要使AB，求实数k的取值范围.【例3】设正数a，b，c满足.（1）求证：；（2）又设，，求a，b，c的值. 【例1】（1）已知，，求的最小值.（2）已知，求的最大值.（3）已知，求xy的最大值.【例2】解方程