高考数学复习-对数及对数运算提高(2)

对数及对数运算【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0且a¹1，N>0，bÎR.2.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2 (-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.要点三、对数公式1．对数恒等式：2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:(1)令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:.(2)，令logaM=b，则有ab=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】运用对数的定义进行互化.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg1000=x(4)【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. (1)；(2)；(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由.【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：并比较．【答案】235【解析】．类型二、利用对数恒等式化简求值例2．求值：【答案】35【解析】.【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)【答案】【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算..类型三、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068例3】例3.表示下列各式【解析】（1）；（2）；（3）；（4）=．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值 (1)  (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】（1）已知，则．（2）已知，求．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）∵，∴，，∴．故答案为：1．（2），，又，故故，又，从而，故．类型四、换底公式的运用例4.已知，求．【答案】【解析】解法一：，，于是．解法二：，，于是解法三：，，．解法四：， 又．令，则，即．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】(1)；(2)；(3)法一：法二：.类型五、对数运算法则的应用例5.（2016春安徽桐城市月考）（1）计算：（2）（3）（4）若，求x的值．【思路点拨】（1）（2）（3）利用指数与对数的运算法则即可得出；（4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出．【答案】（1）3；（2）0；（3）3；（4）2 【解析】（1）原式（2）原式==（3）原式=（4）∵，∴，∴∴，解得x=－1或x=2，∵x＞0，∴x=2举一反三：【变式1】求值：【答案】2【解析】另解：设=m(m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.例6．设函数（1）当a=0.1，求f（1000）的值．（2）若f（10）=10，求a的值；【思路点拨】（1）当a=0.1时，，把x=1000代入可求（2）由，可求，进而可求a【答案】（1）－14；（2）或 【解析】（1）当a=0.1时，∴（2）∵∴∴∴或∴或举一反三：【变式1】若是方程的两个实根，求的值．【答案】12【解析】原方程可化为，设，则原方程化为．．由已知是原方程的两个根，则，即，===．即．