第2课时 对数的运算
一二一、对数的运算性质1.指数的运算法则有哪些?提示:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(3)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(4)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).2.计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗?提示:∵log24=2,log28=3,log232=5,∴log24+log28=log2(4×8)=log232;
一二3.计算lg10,lg100,lg1000及lg104的值,你能发现什么规律?提示:lg10=1,lg100=lg102=2,lg1000=lg103=3,lg104=4,可见lg10n=nlg10=n.4.填表:对数的运算性质
一二5.判断正误:log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5).()答案:×6.做一做:A.0B.2C.4D.6解析:原式=2lg5+2lg2-2=2(lg5+lg2)-2=0.答案:A
一二二、换底公式
一二答案:×4.做一做:已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log125=.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一对数运算性质的应用例1计算下列各式的值:分析:利用对数的运算性质进行计算.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.反思感悟1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测=3+2lg10=3+2×1=5.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究二换底公式的应用例2计算下列各式的值:分析:用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练2化简:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).
探究一探究二探究三思想方法当堂检测例3已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)分析:先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式,将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数的运算.解:∵18b=5,∴b=log185.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测答案:B
探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究三对数的综合应用分析:用对数式表示出x,y,z后再代入所求(证)式子进行求解或证明.解:(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,
探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.反思感悟对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,
探究一探究二探究三思想方法当堂检测对数方程的求解方法典例解下列方程:(2)lgx+2log10xx=2;(3)(2x2-3x+1)=1.解得x=15或x=-5(舍去),经检验x=15是原方程的解.
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探究一探究二探究三思想方法当堂检测归纳总结(1)在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.(2)解对数方程可将其转化为同底数对数后求解,或通过换元转化为代数方程求解,注意在将对数方程化为代数方程的过程中,未知数的范围扩大或缩小容易导致增、失根.故解对数方程必须把求出的解代入原方程进行检验,否则易造成错解:.
探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练方程log3(x2-10)=1+log3x的解是.解析:原方程可化为log3(x2-10)=log33x.所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.检验知,方程的解为x=5.答案:x=5
探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.log248-log23=()A.log244B.2C.4D.-2答案:C2.log52·log425等于()答案:C
探究一探究二探究三思想方法当堂检测答案:D4.已知3a=2,用a表示log34-log36=.解析:∵3a=2,∴a=log32,∴log34-log36=log322-log3(2×3)=2log32-log32-log33=a-1.答案:a-1
探究一探究二探究三思想方法当堂检测答案:36
探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)(lg2)2+lg2·lg500+lg125.=log78-log79+log79-log78=0.(2)原式=lg2(lg2+lg500)+3lg5=lg2·lg1000+3lg5=3lg2+3lg5=3(lg2+lg5)=3lg10=3.
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