《对数及其运算》教案

《对数及其运算》教案学习目标1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.学习重难点1.对数的概念在指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应.幂指数x,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab＝N,我们把“以a为底N的对数b”记作     logaN    ,即b＝logaN(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数logaN(a>0,且a≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N>0;(2)1的对数为0,即loga1＝0;(3)底的对数等于1,即logaa＝1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log10N简记作lgN.学习过程[问题情境]对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一对数的概念问题1若24＝M,则M等于多少？若2－2＝N,则N等于多少？答：M＝16,N＝.问题2若2x＝16,则x等于多少？若2x＝,则x等于多少？答：x的值分别为4,－2.问题3满足2x＝3的x的值,我们用log23表示,即x＝log23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x＝16,2x＝,4x＝8的x的值如何表示？答：分别表示为log216,log2,log48. 小结：在指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应.幂指数x,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab＝N,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即b＝logaN(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.探究点二对数与指数的关系问题1当a>0,且a≠1时,若ax＝N,则x＝logaN,反之成立吗？为什么？答：反之也成立,因为对数表达式x＝logaN不过是指数式ax＝N的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中,a,x,N各自的地位有什么不同？答aNx指数式ax＝N指数的底数幂幂指数对数式x＝logaN对数的底数真数对数问题3若ab＝N,则b＝logaN,二者组合可得什么等式？答：对数恒等式:a＝N.问题4当a>0,且a≠1时,loga(－2),loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？答：不存在,因为loga(－2),loga0对应的指数式分别为ax＝－2,ax＝0,x的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5根据对数定义,loga1和logaa(a>0,a≠1)的值分别是多少？答：loga1＝0,logaa＝1.∵对任意a>0且a≠1,都有a0＝1,∴化成对数式为loga1＝0;∵a1＝a,∴化成对数式为logaa＝1.小结：对数logaN(a>0,且a≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N>0;(2)1的对数为0,即loga1＝0;(3)底的对数等于1,即logaa＝1.例1求log22,log21,log216,log2.解：因为21＝2,所以log22＝1;因为20＝1,所以log21＝0;因为24＝16,所以log216＝4;因为2－1＝,所以log2＝－1.小结：logaN＝x与ax＝N(a>0,且a≠1,N>0)是等价的,表示a,x,N三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a,x,N中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1将下列指数式写成对数式:(1)54＝625;(2)2－6＝;(3)3a＝27;(4)m＝5.73.解：(1)log5625＝4;(2)log2＝－6;(3)log327＝a;(4)log5.73＝m.例2计算:(1)log927;(2)log81;(3)log625.解：(1)设x＝log927,则9x＝27,32x＝33,∴x＝.(2)设x＝log81,则x＝81,3 ＝34,∴x＝16.(3)令x＝log625,∴x＝625,5 ＝54,∴x＝3.小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2求下列各式中的x的值:(1)log64x＝－;(2)logx8＝6;(3)lg100＝x.解：(1)x＝(64)－＝(43)－＝4－2＝.(2)x6＝8,所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.(3)10x＝100＝102,于是x＝2.探究点三常用对数问题阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log10N记做lgN.如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3求lg10,lg100,lg0.01.解：因为101＝10,所以lg10＝1;因为102＝100,所以lg100＝2;因为10－2＝0.01,所以lg0.01＝－2.小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n(n∈Z)时,lg10n＝n;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3求下列各式中的x的值:(1)log2(log5x)＝0;(2)log3(lgx)＝1;(3)log(－1)＝x. 解：(1)∵log2(log5x)＝0.∴log5x＝20＝1,∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1,∴lgx＝31＝3,∴x＝103＝1000.(3)∵log(－1)＝x,∴(－1)x＝＝＝＝－1,∴x＝1.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.若log(x＋1)(x＋1)＝1,则x的取值范围是(B)A.x>－1B.x>－1且x≠0C.x≠0D.x∈R解析：由对数函数的定义可知x＋1≠1，x＋1>0即x>－1且x≠0.2.已知logx＝3,则x＝________.解析：∵logx＝3,∴x＝()3,∴x＝.3.已知a＝(a>0),则loga＝__4______.解析：由a＝(a>0),得a＝()2＝()4,所以loga＝log()4＝4.4.将下列对数式写成指数式:(1)log16＝－4;(2)log2128＝7;(3)lg0.01＝－2.解：(1)－4＝16;(2)27＝128;(3)10－2＝0.01.课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化ab＝N⇔logaN＝b.2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,loga1＝0,logaa＝1.3.对数恒等式有:alogaN＝N,logaan＝n.4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lgN.