2.2.1对数与对数运算（2）从容说课本课是在理解对数概念的基础上，联系指数幂的运算性质来学习对数的运算性质.教学重点是探究并证明对数的运算性质.教学难点是在掌握对数运算性质的基础上，能灵活运用运算性质进行化简求值.根据指数式和对数式之间的关系，通过与指数幂的运算性质类比得出对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，以加深对公式的记忆和理解.对公式不仅要掌握其内容，更要注意公式适用条件.（运算性质的探究，层次较高的学生可以采用“概念形成”的学习方式通过对具体例子的提出，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明）对数运算性质的综合运用，经常要求逆用运算性质，应掌握变形技巧，各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，且要避免错用对数运算性质.运算性质的认识，可以类比指数运算法则来理解记忆，强化法则使用的条件，注意对数式中每一个字母的取值范围.三维目标一、知识与技能掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生会与别人共同学习、共同研究探讨的能力.2.利用类比的方法，得出对数的运算性质，让学生体会到数学知识的前后连贯性，加深对公式内容及公式适用条件的记忆.3.通过探究、思考，培养学生理性思维能力、观察能力以及判断能力.三、情感态度与价值观1.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对对数运算性质的推导过程的理解，增强学生数学交流能力和数学地分析问题的能力.2.通过对数运算性质的学习，使学生明确数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.3.通过计算器来探索对数的运算性质，使学生认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，激发学生学习数学的热情.教学重点1.掌握对数的运算性质.2.应用对数运算性质求值、化简.教学难点对数运算性质的灵活运用.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、复习回顾，引入新课师：上一节课我们学习了对数的概念、指数式与对数式的互化，我们知道，对数和指数都是一种运算，而且对数运算是指数运算的逆运算，指数有它自己的一套运算性质.从指数与对数的关系以及指数运算性质，能得出相应的对数运算性质吗？这就是本节课所要6
探究的知识.（引入课题，书写课题——对数的运算性质）二、讲解新课（一）对数的运算性质的探索师：指数幂运算有哪些性质？（生口答，师简单板书）当a、b＞0，m、n∈R时，am·an=am+n，am÷an=am－n，（am）n=amn，=a.师：根据对数的定义可得：logaN=bab=N（a＞0，a≠1，N＞0），那么，对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们的运算性质会与指数幂的运算性质之间有什么联系呢？（生思考）合作探究：由于am·an=am+n，设M=am，N=an，于是MN=am+n.由对数的定义得到logaM=m，logaN=n，loga（M·N）=m+n.这样，我们就得到对数的一个运算性质：loga（M·N）=logaM+logaN.师：同样地，可以仿照上述过程，由am÷an=am－n和（am）n=amn，得出对数运算的其他性质.（生板演）∵am÷an=am－n，设M=am，N=an，∴=am－n.∴由对数的定义得到logaM=m，logaN=n，loga=m－n.∴loga=logaM－logaN.∵（am）n=amn，设M=am，∴Mn=amn.∴由对数的定义得到logaM=m，logaMn=mn，∴logaMn=nlogaM.（师组织生讨论得出）对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN，loga=logaM－logaN，logaMn=nlogaM（n∈R），其中，a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.6
师：以上三个性质可归纳为：（1）积的对数等于各因式对数的和；（2）商的对数等于被除数的对数减除数的对数；（3）幂的对数等于指数乘以底数的对数.师：这几条运算性质会对我们进行对数运算带来哪些方便呢？（生交流探讨，得出如下结论）结论：利用以上性质，可以使两正数的积、商的对数运算问题转化为两正数各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简、求值.（二）概念理解合作探究：利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？（师组织，生交流探讨得出如下结论）底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.师：性质能否进行推广？（生交流讨论）性质（1）可以推广到n个正数的情形，即loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.知识拓展：当a＞0，a≠1，M＞0时，还有logMn=logaM.（三）运算性质的应用师：这样我们就可以心底坦然地使用这些性质了，请同学们完成以下训练.（投影显示如下练习，生完成，组织学生交流评析各自的训练成果）【例1】用logax，logay，logaz表示下列各式：（1）loga；（2）loga.（生板演）【例2】求下列各式的值：（1）log2（47×25）；（2）lg.（生板演）【例3】已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值：（结果保留4位有效数字）（1）lg12；（2）lg.方法引导：要用lg2≈0.3010，lg3≈0.4771这个已知条件来求以上各式的值，需先根据对数的运算性质将其化为含lg2、lg3的多项式进而求出结果.【例4】计算：（1）lg14－2lg+lg7－lg18；（2）；（3）.6
（1）解法一：lg14－2lg+lg7－lg18=lg（2×7）－2（lg7－lg3）+lg7－lg（32×2）=lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0.解法二：lg14－2lg+lg7－lg18=lg14－lg（）2+lg7－lg18=lg=lg1=0.（2）解：===.（3）解：===.方法引导：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.（四）目标检测课本P79练习第1，2，3.答案：1.（1）lg（xyz）=lgx+lgy+lgz；（2）lg=lg（xy2）－lgz=lgx+lgy2－lgz=lgx+2lgy－lgz；（3）lg=lg（xy3）－lg=lgx+lgy3－lgz=lgx+3lgy－lgz；（4）lg=lg－lg（y2z）=lgx－lgy2－lgz=lgx－2lgy－lgz.2.（1）7；（2）4；（3）－5；（4）0.56.3.（1）log26－log23=log2=log22=1；（2）lg5－lg2=lg；（3）log53+log5=log53×=log51=0；6
（4）log35－log315=log3=log3=log33－1=－1.补充练习：若a＞0，a≠1，且x＞y＞0，N∈N，则下列八个等式：①（logax）n=nlogx；②（logax）n=loga（xn）；③－logax=loga（）；④=loga（）；⑤=logax；⑥logax=loga；⑦an=xn；⑧loga=－loga.其中成立的有________个.（答案：4）三、课堂小结1.对数的运算性质.2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质.3.对数和指数形式比较：式子ab=NlogaN=b名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂值a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数运算性质am·an=am+nam÷an=am－n（am）n=amn（a＞0，且a≠1，m、n∈R）loga（MN）=logaM+logaNloga=logaM－logaNlogaMn=nlogaM（n∈R）（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）四、布置作业课本P86习题2.2A组第3，4，5题.补充作业：1.（1）已知3a=2，用a表示log34－log36；（2）已知log32=a，3b=5，用a、b表示log3.2.计算：（1）；（2）2log32－log3+log38－5；（3）lg（+）.6
板书设计2.2.1对数与对数运算（2）对数的运算性质对数与指数的比较性质的应用（例题及学生练习）例1例2例3例4三、课堂小结与布置作业6
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