对数及其运算讲义

个性化辅导讲义学生：科目：数学教师：第阶段第次课2013年月日课题：对数及运算授课内容：（一）对数1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）说明：注意底数的限制，且；；注意对数的书写格式．两个重要对数：常用对数：以10为底的对数；自然对数：以无理数为底的对数的对数．指数式与对数式的互化＝N＝b（二）对数的运算性质如果，且，，，那么：·＋；－；．注意：换底公式（，且；，且；）．利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义（四）例题例1、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（　　）A、=+B、=+C、=+D、=+解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M例2、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（　　）A、1B、bC、logbaD、alogba解：由对数的换底公式可以得出p==loga（logba），因此，ap等于logba．例3、设x=+，则x属于区间（　　）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．例4、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（　　）A、1B、2C、5D、1或5分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D例5、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（　　）A、1B、4C、D、或418杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4例6、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（　　）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根专题：数形结合。例7、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（　　）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．α•β的值是．例8、（3+2）=　﹣2　；log89•log2732=　　；（lg5）2+lg2•lg50=　1　．解：==，所以18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义=﹣2；log89•log2732==（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；1例9、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是　{0}　．解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0∴（2x﹣1）2=0∴2x=1即x=0例10、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以=-4即logαβ+logβα=﹣3例11、解关于x的方程．（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键．注意对字母的讨论．解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1﹣a±（当a≤时），当x=1﹣a﹣时，x+a=1﹣＜0，故舍去．因此该方程的根为x=1﹣a+（当a≤时），当a＞时，原方程无根．（2）该方程可变形为log4=log4，即，整理得x2﹣7x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）．故该方程的根为x=0．（3）该方程变形为=6，即，令，则可得出t+，解得t=3±2=，因此x=±2．该方程的根为±2．（4）原方程等价于，由得出ax﹣1=10x﹣30，该方程当a=10时没有根，当a≠10时，x=18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义，要使得是原方程的根，需满足ax﹣1＞0，且x﹣3＞0．解出a∈（，10）．因此当a∈（，10）时，原方程的根为x=，当a∈（﹣∞，]∪[10，+∝）时，原方程无根．例12、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．分析：应用对数的运算性质，log4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数a=的值域，通过的取值范围，确定a的取值范围．解：∵3＜x＜4，方程即：log2（x+3）﹣log2x=a，=a∵=1﹣，＜＜1，∴0＜1﹣＜，∴﹣∞＜a＜﹣2例13、已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．三、学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：四、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义教研组签字：教务处签字：教务处盖章练习1、的值是（　　）A、B、1C、D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（　　）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（　　）A、1B、2C、5D、1或54、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（　　）A、1B、4C、D、或45、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（　　）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根6、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=　_________　；=　_________　；=　_________　．7、（3+2）=　_________　；log89•log2732=　_________　；（lg5）2+lg2•lg50=18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义　_________　．8、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是　_________　．9、方程xlgx=10的所有实数根之积是　_________　．10、解下列方程（1）logx+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；11、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（　　）A、=+B、=+C、=+D、=+解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M3、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（　　）A、1B、bC、logbaD、alogba解答：解：由对数的换底公式可以得出p==loga（logba），因此，ap等于logba．故选C．4、设x=+，则x属于区间（　　）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）解答：解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．故选D．5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（　　）18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义A、1B、2C、5D、1或5分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D6、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（　　）A、1B、4C、D、或4解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=选C．7、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（　　）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根专题：数形结合。选C．8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（　　）18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义A、lg7•lg5B、lg35C、35D、分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．∴α•β的值是．选D．9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=　21﹣2n　；=　　；=　　．分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n，用对数性质化简后两个代数式．解答：解：（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=22n+2﹣2n﹣1﹣2n=21﹣2n；故答案为：10、（3+2）=　﹣2　；log89•log2732=　　；（lg5）2+lg2•lg50=　1　．解答：解：==，所以=﹣2；18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义log89•log2732==（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；112、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是　{0}　．解答：解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0∴（2x﹣1）2=0∴2x=1即x=0故方程的解集为{0}13、方程xlgx=10的所有实数根之积是　1　．解答：解：方程xlgx=10的两边取常用对数，可得lg2x=1，∴lgx=±1，所以x=10或x=实数根之积为1．故答案为：114、不查表，求值：lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=　﹣3　．分析：根据对数运算法则且lg5=1﹣lg2，可直接得到答案．解答：解：∵lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=1﹣lg2﹣lg2+lg2﹣2﹣2=018杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义故答案为：0．15、不查表求值：+﹣102+lg2=　﹣190　．解答：解：++102+lg2=﹣2﹣102×2=9﹣2﹣200=﹣193故答案为﹣193．16、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．（2）已知log627=a，试用a表示log1816．分析：（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816的式子．17、化简：+﹣．解答：解：+﹣=+﹣=18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义=﹣18、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解答：解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以=即logαβ+logβα=﹣319、解下列方程（1）logx+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。分析：（1）应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后还原对数解答即可．（2）直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可．解答：解：（1）logx+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0化为logx+2（4x+5）﹣2[logx+2（4x+5）]﹣1﹣1=0令t=logx+2（4x+5）上式化为：当logx+2（4x+5）=﹣1时解得x=﹣1或x=都不符合题意，舍去．18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义当logx+2（4x+5）=2时有x2=1，解得x=﹣1（舍去），x=1（2）32x+5=5•3x+2+2令t=3x+2上式化为3t2﹣5t﹣2=0解得t=﹣（舍去），t=2即3x+2=2x+2=log32所以x=20、解关于x的方程．（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键．注意对字母的讨论．解答：解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1﹣a±（当a≤时），当x=1﹣a﹣时，x+a=1﹣＜0，故舍去．因此该方程的根为x=1﹣a+（当a≤时），当a＞时，原方程无根．（2）该方程可变形为log4=log4，即，整理得x218杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义﹣7x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）．故该方程的根为x=0．（3）该方程变形为=6，即，令，则可得出t+，解得t=3±2=，因此x=±2．该方程的根为±2．（4）原方程等价于，由得出ax﹣1=10x﹣30，该方程当a=10时没有根，当a≠10时，x=，要使得是原方程的根，需满足ax﹣1＞0，且x﹣3＞0．解出a∈（，10）．因此当a∈（，10）时，原方程的根为x=，当a∈（﹣∞，]∪[10，+∝）时，原方程无根．21、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．分析：应用对数的运算性质，log4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数a=的值域，通过的取值范围，确定a的取值范围．解答：解：∵3＜x＜4，方程即：log2（x+3）﹣log2x=a，=a∵=1﹣，18杭州龙文教育科技有限公司 个性化辅导讲义＜＜1，∴0＜1﹣＜，∴﹣∞＜a＜﹣222、已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．18杭州龙文教育科技有限公司