§2.3　二次函数与幂函数

§2.3 二次函数与幂函数高考文数(北京市专用)1 考点 二次函数1.(2014北京,8,5分,0.64)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(  )A组  自主命题·北京卷题组五年高考A.3.50分钟     B.3.75分钟C.4.00分钟     D.4.25分钟2 答案    B解法一:由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.解法二:p(t)=at2+bt+c(a≠0).∵p(4)>0.7>p(5),∴存在t0∈(4,5)使得p(t0)=0.7.∵p(t0)=p(3)=0.7,∴二次函数p(t)的顶点的横坐标为t=,即最佳加工时间为分钟.∵t0∈(4,5),∴∈(3.5,4),∴选B.3 2.(2011北京,8,5分)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(  )A.4     B.3     C.2     D.1答案    A解法一:易知A、B所在直线的方程是x+y-2=0.设C到直线x+y-2=0的距离为d,S△ABC=|AB|·d=×2d=2,∴d=,设C(x,x2),则d==,∴x2+x-4=0或x2+x=0.对于方程x2+x-4=0,判别式Δ=17>0,方程有两个不等实根;解方程x2+x=0得x1=0,x2=-1,故C点的个数为4,故选A.解法二:由已知易求得C到直线AB:x+y-2=0的距离d=,过C且与直线x+y-2=0平行的直线方程设为x+y+c=0,则=,∴|c+2|=2,∴c=0或c=-4.又直线x+y=0与抛物线y=x2有两个交点,直线x+y-4=0与抛物线y=x2有两个交点,交点即为所求点C,故C点个数为4,故选A.4 3.(2017北京,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案解析解法一:由题意知,y=1-x,∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2+.当x=时,x2+y2取最小值,当x=0或x=1时,x2+y2取最大值1,∴x2+y2∈.解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方.x2+y2的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的距离的平方,即=,又易知(x2+y2)max=1,∴x2+y2∈.5 考点一 二次函数1.(2013辽宁,12,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=(  )A.a2-2a-16     B.a2+2a-16C.-16     D.16B组  统一命题、省(区、市)卷题组6 答案    Cf(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.由图及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),则A-B=f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.2.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(  )A.与a有关,且与b有关     B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关     D.与a无关,但与b有关7 答案    B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论思想.解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关.又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3,故M-m与a有关.故选B.解法二:(1)当-≥1,即a≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)当≤-